Feladat: 1297. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél G. ,  Andréka Hajnal ,  Berecz A. ,  Bóta K. ,  Deák I. ,  Dévény Ilona ,  Freud Róbert ,  Gyenes G. ,  Hegedüs Aletta ,  Hirka A. ,  Hoffmann Gy. ,  Horányi S. ,  Huhn A. ,  Kelemen G. ,  Kiss Györgyi ,  Kovács Á. ,  Körner J. ,  Laczkovich M. ,  Lovász L. ,  Márki L. ,  Máté Mária ,  Mátrai M. ,  Nagy Klára ,  Pelikán J. ,  Simonovits András ,  Surányi L. ,  Sükösd Cs. ,  Szendrő P. ,  Szép A. ,  Sövényházy Mária ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/január, 17 - 18. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/február: 1297. matematika feladat

Mely n természetes számok esetére osztható a P=(n2-4)(n2-1)(n2+3) kifejezés 2880-nal?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2880=26325, és itt a három törzsszámhatvány egymáshoz páronként relatív prím. Ezért P akkor és csak akkor osztható 2880-nal, ha külön‐külön osztható 26-nal, 32-nel és 5-tel.
A 26-nal való oszthatóság vizsgálatában P-t két kifejezés szorzata gyanánt írjuk:

P=QR,aholQ=(n+2)(n-2),R=(n+1)(n-1)(n2+3).
Páros n-ekre szorítkozva Q mindkét tényezője páros, R mindhárom tényezője páratlan, ezért P akkor és csak akkor osztható 26-nal, ha Q osztható vele. Q tényezőinek különbsége 4, így vagy egyikük sem osztható 4-gyel, azaz 22-nel, vagy mindkettőjük osztható, így a kérdéses oszthatóság csak az utóbbi esetben állhat fenn. Ekkor egyikük 22-nek páratlan számú többszöröse, így 23-nal már nem osztható, ezért Q csak úgy lesz osztható 26-nal, ha a másik tényező osztható 24-nel. Ennélfogva 26|Q (olvasd 26 osztója Q-nak), ha n+2 és n-2 valamelyike 16k alakú, azaz maga n
16t-2vagy16t+2
alakú szám. ‐ Páratlan n-ek esetében Q páratlan, mert mindkét tényezője az, R tényezői viszont párosak. Így azt kell keresnünk, mely n-ekre áll fenn: 26|R. Az n2+3 tényező osztható 4-gyel, de nem osztható 8-cal, mert n=2k+1 jelöléssel n2+3=4k(k+1)+4, és itt az első tag osztható 8-cal, mert a k és k+1 egymás utáni számok egyike páros. Így 24|(n+1)(n-1) teljesülésének feltételét keressük. n+1 és n-1 különbsége 2, egyikük nem osztható 2-nek magasabb hatványával, ezért a másikuknak oszthatónak kell lennie 23-nal, vagyis n-nek a következő alakúnak kell lennie:
8u-1vagy8u+1.

A 32-nel és az 5-tel való oszthatóság vizsgálata céljára P-t így írjuk:
P=(n-2)(n-1)nn(n+1)(n+2)+3(n-2)(n-1)(n+1)(n+2).
Az első tag osztható 32-nel is, 5-tel is, mert tényezői között szerepel egyrészt két egymás utáni egész számokból álló számhármas, és mindegyiknek egy eleme osztható 3-mal, másrészt egy egymás utáni egész számokból álló számötös. A második tag 3-nak csak első hatványával osztható, ha maga n osztható 3-mal, minden más esetben két zárójeles tényező osztható 3-mal, tehát a kívánt oszthatóság fennáll. Így a 32|P oszthatóság szükséges és elegendő feltétele: n3v, és hasonlóan 5|P feltétele n5w.
Mindezek szerint P akkor és csak akkor osztható 2880-nal, ha n sem 3-mal, sem 5-tel nem osztható, másrészt a következő alakok valamelyikében írható: 16t±2, 8u±1.
 

 Freud Róbert (Budapest, Bolyai J. G. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Ha az oszthatóság teljesül valamely n-re, akkor ‐ mint könnyen belátható ‐ teljesül minden 240 k±n alakú számra is. Az első 120 szám közül a következő n-ek felelnek meg:
 

  1,2,7,14,17,23,31,34,41,46,47,49,  62,71,73,79,82,89,94,97,98,103,113,119.