|
Feladat: |
1221. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bálint L. , Báthory Anna , Cser J. , Csirik János , Dobó Ferenc , Doskar Balázs , Fejéregyházi Sándor , Folly Gábor , Gyárfás András , Gömböcz L. , Kóbor Gy. , Komor Tamás , Kuzmann E. , Lipcsey Zsolt , Lovász László , Lux I. , Makai Endre , Márki László , Markó János , Minárik László , Mód G. , Papp M. , Pelikán József , Sófalvi Miklós , Soltész P. , Solti L. , Somos Péter , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar |
Füzet: |
1963/november,
124 - 126. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/január: 1221. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 731. gyakorlatban 7 db sugarú körlemez középpontjai egy oldalú szabályos hatszög csúcsaiba és középpontjába voltak rögzítve ‐ így a , , , , , körök érintették két‐két szomszédjukat és a középső -et ‐ egy nyolcadik, ugyancsak sugarú körlemez pedig egyszer körülgördült az első 6 kör körül.
A 7 körből álló rendszer szimmetrikus a középső kör középpontját a többi középponttal összekötő egyenesekre, továbbá az első 6 kör közül 2‐2 érintkezőnek a közös belső érintőjére, ami szintén átmegy -en (pl. a és kör érintkezési pontjában húzott érintő egyenesére). Ezekre szimmetrikus lesz a által súrolt idom is. A mozgás egy szakaszában csak -gyel érintkezik, eközben középpontja a -nek középpontja körüli sugarú kör egy ívét írja le, így annak a körgyűrűnek a területéből súrol egy részt, melynek belső határoló köre , a külső pedig az körül sugárral írt . A leírt szimmetriák következtében elég meghatározni a súrolt területnek az és az félegyenesek közti részét, ahol a -nak -fel való, -től távolabbi metszéspontja; ennek a 12-szerese. Legyen a gördülő kör középpontjának helyzete az egyenesen , ezen helyzetének az -en fekvő átmérője , másrészt helyzete -en , az -n levő átmérő , és az -n levő átmérőnek -hez közelebbi végpontja . Így a körívekkel és egyenesszakaszokkal határolt idom területét akarjuk meghatározni. Ezt a körgyűrű‐cikkből úgy kapjuk, hogy hozzávesszük a körcikket, másrészt elhagyjuk a és egyenesszakaszokkal és a körívvel határolt idomot. A körgyűrű‐cikk középponti szöge , így területe , a körcikké , mert , a két terület összege . A idom az körcikkből az háromszög elhagyásával keletkezik. Az utóbbi területe egyenlő és derékszögű háromszögek területének különbségével, ami mert | | A körcikk középponti szögének radiánban vett mértékszámát -val jelölve területe: | | másrészt az derékszögű háromszögből | | Ezekkel | |
A numerikus kiszámításban vegyük figyelembe, hogy hibája a visszakeresés, átszámítás és a kerekítések folytán elérheti az -et, így a zárójel második tagjának hibája a -t. Emiatt a zárójel tagjait 3 tizedesre számítjuk és végül 2 tizedesre kerekítünk: .
Minárik László (Tamási, Béri Balogh Á. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Több jó gondolatmenetű dolgozat numerikus eredménye meglehetősen pontatlan a kisebb részletekben végrehajtott számítás és a többszöri kerekítés miatt. K. M. L. 25 (1962/10) 53. o. |
|