Kezdőlap


Feladat:	1221. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint L. , Báthory Anna , Cser J. , Csirik János , Dobó Ferenc , Doskar Balázs , Fejéregyházi Sándor , Folly Gábor , Gyárfás András , Gömböcz L. , Kóbor Gy. , Komor Tamás , Kuzmann E. , Lipcsey Zsolt , Lovász László , Lux I. , Makai Endre , Márki László , Markó János , Minárik László , Mód G. , Papp M. , Pelikán József , Sófalvi Miklós , Soltész P. , Solti L. , Somos Péter , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar
Füzet:	1963/november, 124 - 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 1221. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 731. gyakorlatban¹ 7 db $r$ sugarú körlemez középpontjai egy $2 r$ oldalú szabályos hatszög csúcsaiba és középpontjába voltak rögzítve ‐ így a $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ , $k_{4}$ , $k_{5}$ , $k_{6}$ körök érintették két‐két szomszédjukat és a középső $k_{7}$ -et ‐ egy nyolcadik, ugyancsak $r$ sugarú $k_{8}$ körlemez pedig egyszer körülgördült az első 6 kör körül.

A 7 körből álló rendszer szimmetrikus a középső kör

O_{7}

középpontját a többi középponttal összekötő egyenesekre, továbbá az első 6 kör közül 2‐2 érintkezőnek a közös belső érintőjére, ami szintén átmegy

O_{7}

-en (pl. a

k_{1}

és

k_{2}

kör

F

érintkezési pontjában húzott

O_{7} F

érintő egyenesére). Ezekre szimmetrikus lesz a

k_{8}

által súrolt idom is.
A mozgás egy szakaszában

k_{8}

csak

k_{1}

-gyel érintkezik, eközben

K

középpontja a

k_{1}

-nek

O_{1}

középpontja körüli

2 r

sugarú kör egy ívét írja le, így

k_{8}

annak a körgyűrűnek a területéből súrol egy részt, melynek belső határoló köre

k_{1}

, a külső pedig az

O_{1}

körül

3 r

sugárral írt

k

. A leírt szimmetriák következtében elég meghatározni a súrolt

T

területnek az

O_{7} O_{1}

és az

O_{7} M

félegyenesek közti részét, ahol

M

k

-nak

O_{7} F

-fel való,

O_{7}

-től távolabbi metszéspontja;

T

ennek a 12-szerese.
Legyen a gördülő

k_{8}

kör

K

középpontjának helyzete az

O_{7} O_{1}

egyenesen

K_{1}

k_{8}

ezen helyzetének az

O_{7} O_{1}

-en fekvő átmérője

A_{1} B_{1}

, másrészt

K

helyzete

O_{7} M

-en

K_{2}

, az

O_{1} K_{2}

-n levő átmérő

A_{2} B_{2}

, és az

O_{7} K_{2}

-n levő átmérőnek

O_{7}

-hez közelebbi végpontja

A_{3}

. Így a körívekkel és egyenesszakaszokkal határolt

A_{1} A_{2} A_{3} M B_{1}

idom területét akarjuk meghatározni. Ezt a

G = A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}

körgyűrű‐cikkből úgy kapjuk, hogy hozzávesszük a

C = K_{2} A_{2} A_{3}

körcikket, másrészt elhagyjuk a

K_{2} M

és

K_{2} B_{2}

egyenesszakaszokkal és a

B_{2} M

körívvel határolt

D

idomot.
A

G

körgyűrű‐cikk középponti szöge

60^{\circ}

, így területe

4 r^{2} π / 3

, a

C

körcikké

r^{2} π / 12

, mert

A_{2} K_{2} A_{3} ∢ = 30^{\circ}

, a két terület összege

17 r^{2} π / 12

. A

D

idom az

O_{1} B_{2} M

körcikkből az

O_{1} K_{2} M

háromszög elhagyásával keletkezik. Az utóbbi területe egyenlő

O_{1} F M

és

O_{1} F K_{2}

derékszögű háromszögek területének különbségével, ami

\begin{matrix} \frac{O_{1} F}{2} (F M - F K_{2}) = \frac{r^{2}}{2} (\sqrt[]{8} - \sqrt[]{3}), \end{matrix}

mert

\begin{matrix} F M = \sqrt[]{O_{1} M^{2} - O_{1} F^{2}} = r \sqrt[]{8}, F K_{2} = \sqrt[]{O_{1} K_{2}^{2} - O_{1} F^{2}} = r \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A körcikk

B_{2} O_{1} M

középponti szögének radiánban vett mértékszámát

ω

-val jelölve

D

területe:

\begin{matrix} \frac{9 r^{2} ω}{2} - \frac{r^{2}}{2} (\sqrt[]{8} - \sqrt[]{3}) = \frac{r^{2}}{2} (9 ω - \sqrt[]{8} + \sqrt[]{3}), \end{matrix}

másrészt az

O_{1} F M

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} cos (ω + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}, ω = arc cos \frac{1}{3} - \frac{π}{3} \approx 0, 1837. \end{matrix}

Ezekkel

\begin{matrix} T = 12 [\frac{17 r^{2} π}{12} - \frac{r^{2}}{2} (9 ω - \sqrt[]{8} + \sqrt[]{3})] = r^{2} (17 π - 54 ω + 12 \sqrt[]{2} - 6 \sqrt[]{3}) . \end{matrix}

A numerikus kiszámításban vegyük figyelembe, hogy

ω

hibája a visszakeresés, átszámítás és a kerekítések folytán elérheti az

1 \cdot 10^{- 4}

-et, így a zárójel második tagjának hibája a

6 \cdot 10^{- 3}

-t. Emiatt a zárójel tagjait 3 tizedesre számítjuk és végül 2 tizedesre kerekítünk:

T \approx 50, 07 r^{2}

Minárik László (Tamási, Béri Balogh Á. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Több jó gondolatmenetű dolgozat numerikus eredménye meglehetősen pontatlan a kisebb részletekben végrehajtott számítás és a többszöri kerekítés miatt.

¹K. M. L. 25 (1962/10) 53. o.