Feladat: 1221. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálint L. ,  Báthory Anna ,  Cser J. ,  Csirik János ,  Dobó Ferenc ,  Doskar Balázs ,  Fejéregyházi Sándor ,  Folly Gábor ,  Gyárfás András ,  Gömböcz L. ,  Kóbor Gy. ,  Komor Tamás ,  Kuzmann E. ,  Lipcsey Zsolt ,  Lovász László ,  Lux I. ,  Makai Endre ,  Márki László ,  Markó János ,  Minárik László ,  Mód G. ,  Papp M. ,  Pelikán József ,  Sófalvi Miklós ,  Soltész P. ,  Solti L. ,  Somos Péter ,  Szidarovszky Ferenc ,  Szilágyi Tivadar 
Füzet: 1963/november, 124 - 126. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/január: 1221. matematika feladat

Számítsuk ki a 731. gyakorlatban* a k8 kör által egy teljes körülgördülés alatt súrolt területet.
*K. L. M. 25 (1962/10) 53. o.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 731. gyakorlatban1 7 db r sugarú körlemez középpontjai egy 2r oldalú szabályos hatszög csúcsaiba és középpontjába voltak rögzítve ‐ így a k1, k2, k3, k4, k5, k6 körök érintették két‐két szomszédjukat és a középső k7-et ‐ egy nyolcadik, ugyancsak r sugarú k8 körlemez pedig egyszer körülgördült az első 6 kör körül.

 
 

A 7 körből álló rendszer szimmetrikus a középső kör O7 középpontját a többi középponttal összekötő egyenesekre, továbbá az első 6 kör közül 2‐2 érintkezőnek a közös belső érintőjére, ami szintén átmegy O7-en (pl. a k1 és k2 kör F érintkezési pontjában húzott O7F érintő egyenesére). Ezekre szimmetrikus lesz a k8 által súrolt idom is.
A mozgás egy szakaszában k8 csak k1-gyel érintkezik, eközben K középpontja a k1-nek O1 középpontja körüli 2r sugarú kör egy ívét írja le, így k8 annak a körgyűrűnek a területéből súrol egy részt, melynek belső határoló köre k1, a külső pedig az O1 körül 3r sugárral írt k. A leírt szimmetriák következtében elég meghatározni a súrolt T területnek az O7O1 és az O7M félegyenesek közti részét, ahol M a k-nak O7F-fel való, O7-től távolabbi metszéspontja; T ennek a 12-szerese.
Legyen a gördülő k8 kör K középpontjának helyzete az O7O1 egyenesen K1, k8 ezen helyzetének az O7O1-en fekvő átmérője A1B1, másrészt K helyzete O7M-en K2, az O1K2-n levő átmérő A2B2, és az O7K2-n levő átmérőnek O7-hez közelebbi végpontja A3. Így a körívekkel és egyenesszakaszokkal határolt A1A2A3MB1 idom területét akarjuk meghatározni. Ezt a G=A1A2B2B1 körgyűrű‐cikkből úgy kapjuk, hogy hozzávesszük a C=K2A2A3 körcikket, másrészt elhagyjuk a K2M és K2B2 egyenesszakaszokkal és a B2M körívvel határolt D idomot.
A G körgyűrű‐cikk középponti szöge 60, így területe 4r2π/3, a C körcikké r2π/12, mert A2K2A3=30, a két terület összege 17r2π/12. A D idom az O1B2M körcikkből az O1K2M háromszög elhagyásával keletkezik. Az utóbbi területe egyenlő O1FM és O1FK2 derékszögű háromszögek területének különbségével, ami
O1F2(FM-FK2)=r22(8-3),
mert
FM=O1M2-O1F2=r8,FK2=O1K22-O1F2=r3.
A körcikk B2O1M középponti szögének radiánban vett mértékszámát ω-val jelölve D területe:
9r2ω2-r22(8-3)=r22(9ω-8+3),
másrészt az O1FM derékszögű háromszögből
cos(ω+π3)=13,ω=arccos13-π30,1837.
Ezekkel
T=12[17r2π12-r22(9ω-8+3)]=r2(17π-54ω+122-63).

A numerikus kiszámításban vegyük figyelembe, hogy ω hibája a visszakeresés, átszámítás és a kerekítések folytán elérheti az 110-4-et, így a zárójel második tagjának hibája a 610-3-t. Emiatt a zárójel tagjait 3 tizedesre számítjuk és végül 2 tizedesre kerekítünk: T50,07r2.
 
 Minárik László (Tamási, Béri Balogh Á. g. IV. o. t.)
 
Megjegyzés. Több jó gondolatmenetű dolgozat numerikus eredménye meglehetősen pontatlan a kisebb részletekben végrehajtott számítás és a többszöri kerekítés miatt.
1K. M. L. 25 (1962/10) 53. o.