Feladat: 1107. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bede Andrea ,  Benczúr András ,  Bollobás Béla ,  Bornes Klára ,  Csipka L. ,  Demendy Z. ,  Farkas Zoltán ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gálfi l. ,  Haupert J. ,  Homitzky L. ,  Horváth Kálmán ,  Huber T. ,  Katona Mária ,  Kéry G. ,  Kóta J. ,  Kovács I. ,  Lehel J. ,  Máté A. ,  Molnár E. ,  Molnár Emil ,  Náray-Szabó G. ,  Nováky B. ,  Opálény M. ,  Schőnweitz Tivadar ,  Sebestyén Zoltán ,  Seprődi L. ,  Simonovits Miklós ,  Sonnevend Gy. ,  Szegő K. ,  Szepesvári I. ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szidarovszky F. ,  Tistyán P. ,  Vesztergombi György ,  Vincze I. ,  Zalán P. ,  Zalay M. 
Füzet: 1962/január, 38 - 40. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merőleges affinitás, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/április: 1107. matematika feladat

Adva van egy k kör és a síkjában két irány: i1, i2. Tekintsük k egy átmérőjét és húzzunk a végpontjain át párhuzamosokat i1, i2-vel. Mi a metszéspontok mértani helye, ha az átmérő minden lehetséges helyzetet felvesz?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az átmérő D, D' végpontjai és a kérdéses M, M' metszéspontok paralelogrammát határoznak meg. M és M' mértani helye szimmetrikus k-nak O középpontjára, mert a paralelogramma egyik átlója DD'. Szimmetrikus a mértani hely a körben az i1 és i2-vel párhuzamos átmérők közti szögek f1, f2 felezőire is, mert ha a d' átmérő tükörképe f1-re d'', akkor a d'' végpontjain átmenő, i1-gyel párhuzamos egyenesek tükrösek a d' végpontjain átmenő, i2-ve1 párhuzamos egyenesekkel és megfordítva.
Ha i1 és i2 merőlegesek, akkor a mértani hely maga k, hiszen így a DMD'M' paralelogramma derékszögű, átlói egyenlők, tehát M és M' a k-n vannak, ‐ és megfordítva k-nak bármely M pontjához található olyan DD' átmérő, amelyhez az előírás szerint szerkesztett metszéspontok egyike éppen M, éspedig DD'-t az M-hez tartozó MM' átmérő végpontjaiból az eredeti szerkesztéssel kapjuk.
Ha i1 és i2 nem merőlegesek, akkor több pontpár megszerkesztése után sejtjük, hogy a mértani hely ellipszis. Ezt a koordinátageometria módszereivel igazoljuk. Tengelyeknek az említett szögfelezőket célszerű választani, így az origó a k kör középpontja lesz, ‐ egységnek pedig vegyük k sugarát. Legyen i1 iránytangense m, így i2 iránytangense -m. A szimmetria miatt, és mivel az i1i2 esetet már láttuk ‐ ott m=tg45=1 ‐, elég a 0<m<1 értékekre gondolnunk. (Nyilvánvaló ugyanis, hogy i1 és i2 különbözők, és így m=0 lehetetlen.)

 
 

Vegyük D gyanánt k-nak (ξ,η) pontját, így D'(-ξ,-η). A D-n átmenő i2 és a D'-n átmenő i2 irányú egyenes egyenlete:
y-η=m(x-ξ),(1)
ill.
y+η=-m(x+ξ).
Innen M metszéspontjuk koordinátái:
x*=-ηm,(2)y*=-mξ,
a D-n átmenő i2 irányú és a D'-n átmenő i1 irányú egyenesek metszéspontja pedig hasonlóan M'(-x*,-y*), ugyanis egyenletüket úgy kapjuk, ha (1) mindkét egyenletében m helyére -m-et írunk.
Az x* és y* között fennálló összefüggést abból kapjuk, hogy a (ξ,η) számpár kielégiti k-nak x2+y2=1 egyenletét. (2)-ből
ξ=-y*m,η=-mx*,
így
ξ2+η2=y*2m2+m2x*2=1,
amit így is írhatunk:
x*2(1m)2+y*2m2=1.(3)
Eszerint valóban minden M(x*,y*) pont ‐ és minden M'(-x*,-y*) is ‐ rajta van azon az ellipszisen, amelyre az x-tengelyen fekvő szimmetriatengely félhossza 1/m, a másik tengelyé pedig m. (Ezek a feltevés folytán különbözők, az előbbi a nagy tengely.)
Fordítva, a (3) ellipszis bármely M(x*,y*) pontjához található k-nak olyan DD' átmérője, amelyhez a feladat utasítása szerint szerkesztett metszéspontok egyike éppen M. Ugyanis az M-en átmenő i1 irányú és M'(-x*,-y*)-on átmenő i2 irányú egyenesek egyenlete
y-y*=m(x-x*),ill.y+y*=-m(x+x*),
ennélfogva D metszéspontjuk koordinátái:
ξ*=-y*mésη*=-mx*,
ezekre (3) szerint ξ*2+η*2=1, vagyis D a k-n van, továbbá (2) szerint a D-ből az eredeti szerkesztéssel kapott metszéspontok éppen M és M'.
Mindezek szerint a keresett mértani hely a (3) egyenlettel meghatározott e ellipszis.
 
Schőnweitz Tivadar (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)

 
II. megoldás. D'M' és az i2-vel párhuzamos átmérő egyenesének metszéspontját N-nel jelölve ON a DD'M' háromszög középvonala, ezért M'N:D'N=1. Eszerint M' a D' pont megfelelője abban az affinitásban, amelynek iránya i1, tengelye az O-n átmenő, i2 irányú egyenes, és aránymutatója az egység ‐ megjegyezve még, hogy a megfelelő pontok a tengely két oldalán helyezkednek el. (Más szóval: az aránymutató -1.) Mivel kör affin képe (általában) ellipszis, azért míg D leírja k-t, addig M a k-nak az említett affinitásban megfelelő ellipszist írja le.
 
Sebestyén Zoltán (Celldömölk, Berzsenyi D. g. III. o. t.)

 
Megjegyzések. 1. Az az affinitás, amelynek iránya i2, tengelye a k-nak i1-gyel párhuzamos átmérője, és aránymutatója 1, ugyancsak e-be viszi át k-t. A felcserélhetőség azon múlik, hogy az aránymutató értéke 1, ezért az ellipszis érinti k-nak i1 és i2-vel párhuzamos érintőit, e két irányra merőlegesen a szélessége egyenlő k átmérőjével.
2. Néhány megoldás rámutatott, hogy a feladatban ,,irány''-on nem vektort értettünk.