Kezdőlap


Feladat:	1049. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr A. , Bollobás B. , Máté E. , Nagy Cs. , Rátkai J. , Sebestyén Z. , Seprődi L. , Szőts M. , Vincze Imre
Füzet:	1961/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 1049. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha 4-et $2^{2}$ alakban írjuk, akkor a bal és jobb oldal így alakul:

\begin{matrix} 2^{3^{4^{x}}} = 2^{3^{(2^{2})^{x}}} = 2^{3^{2^{2 x}}}, 4^{3^{2^{x}}} = {(2^{2})}^{3^{2^{x}}} = 2^{{2 \cdot 3}^{2^{x}}} . \end{matrix}

Mivel az alapok egyenlők és 1-nél nagyobbak, így a kitevőknek meg kell egyezniük. Bevezetve még a

2^{x} = y

jelölést,

2^{2 x} = y^{2}

, és így a következő egyenletet nyerjük

y

-ra:

\begin{matrix} 3^{y^{2}} = 2 \cdot 3^{y}, amiből y^{2} lg 3 = y lg 3 + lg 2, y^{2} - y - \frac{lg 2}{lg 3} = 0. \end{matrix}

(2)

Innen

y_{1} \approx 1, 4386

y_{2} \approx - 0, 4386

. (Négyjegyű mantisszák alapján 4 értékes jegynél többet általában nem adhatunk meg,

y_{1}

ötödik jegye mégis tájékoztató lehet, arra tekintettel, hogy az első jegy 1-es, vagyis ,,kicsi jegy.'')

Csak

y_{1}

felel meg, mert

y = 2^{x}

nem lehet negatív. Most már az

\begin{matrix} 2^{x} = 1, 4386 \end{matrix}

egyenletből

x = (lg 1, 4386) / lg 2 \approx 0, 5247

.
A kipróbáláshoz

y^{2} \approx 2, 070

, így (2) mindkét oldala

9, 714

, ennélfogva (1) két oldalának értéke kb. 840. (A sorozatos közelítő számítások után nem adhatunk meg 3-nál több értékes jegyet.)

Vincze Imre (Budapest, XVIII. ker. Hengersori úti ált. g. III. o. t.)