Feladat: 1049. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Bollobás B. ,  Máté E. ,  Nagy Cs. ,  Rátkai J. ,  Sebestyén Z. ,  Seprődi L. ,  Szőts M. ,  Vincze Imre 
Füzet: 1961/április, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/szeptember: 1049. matematika feladat

Oldjuk meg az alábbi egyenletet (és természetesen ellenőrizzük az eredményt): *
234x=432x.(1)

*Ügyeljünk a hatványozás sorrendjére. Előbb értendő a belső ‐ az írásban a felső ‐ hatvány kiszámítása. Pl. x=5 mellett a ,,3'' alap kitevője balról 46=1024, jobbról 25=32.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha 4-et 22 alakban írjuk, akkor a bal és jobb oldal így alakul:

234x=23(22)x=2322x,432x=(22)32x=2232x.

Mivel az alapok egyenlők és 1-nél nagyobbak, így a kitevőknek meg kell egyezniük. Bevezetve még a 2x=y jelölést, 22x=y2, és így a következő egyenletet nyerjük y-ra:
3y2=23y,amibőly2 lg 3=y lg 3+lg 2,y2-y-lg 2lg 3=0.(2)
Innen y11,4386, y2-0,4386. (Négyjegyű mantisszák alapján 4 értékes jegynél többet általában nem adhatunk meg, y1 ötödik jegye mégis tájékoztató lehet, arra tekintettel, hogy az első jegy 1-es, vagyis ,,kicsi jegy.'')
 

Csak y1 felel meg, mert y=2x nem lehet negatív. Most már az
2x=1,4386
egyenletből x=(lg 1,4386)/lg 20,5247.
A kipróbáláshoz y22,070, így (2) mindkét oldala 9,714, ennélfogva (1) két oldalának értéke kb. 840. (A sorozatos közelítő számítások után nem adhatunk meg 3-nál több értékes jegyet.)
 

Vincze Imre (Budapest, XVIII. ker. Hengersori úti ált. g. III. o. t.)