A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egymás utáni hatványokat gyorsan képezhetjük ismételt szorzással, mert valamennyi vizsgálandó alap egyjegyű szám, és a kitevők nem túl nagyok. Könnyítésül próbáljuk meg, elegendő-e a magasabb hatványokból kerekítésekkel csak az első négy számjegyet kiszámítani. Ugyanis, mivel az adott alapok első hatványa legfeljebb 4-jegyű, a legnagyobb kitevő , és így legfeljebb szorzást végzünk kerekítéssel, azért az így megengedett hibák ellenére várható, hogy a legmagasabb szükséges hatványok kezdő számjegyét helyesen kapjuk meg. Még valószínűbb ez akkor, ha megállapodunk abban, hogy váltakozva fel- és lefelé kerekítünk. ‐ Az utolsó hatvány így kapott közelítő értékét mindenesetre logaritmussal is ellenőrizzük. Pl. hatványainak sorozatában , , ; első négy jegye -ből felfelé kerekítéssel (az utolsó jegy aláhúzásával a felkerekítést jelöljük), első négy jegye -ből lekerekítéssel , ebből első négy jegye (kerekítés nélkül) ; folytatólag váltakozva fel- és lefelé való kerekítéssel , , , , , ahol a görög betűk valamely alkalmas pozitív egész számot jelölnek, értékük a feladat szempontjából nem játszik szerepet. ‐ Másrészt négy tizedes jegyre , vagyis ezt -vel szorozva, majd a táblázatból a bal oldalnál közvetlen kisebb és a jobb oldalnál közvetlen nagyobb kiírt mantisszát visszakeresve (így ugyanis az interpolálással esetleg beálló hibákat biztosan elkerüljük):
Eszerint -nek a fentebbi eljárással képezett első jegye helyes. Ez nyilván a kisebb hatványokra is áll. És mivel az első négy jegyből álló számok egyike közelében sem változik meg a kezdő jegy, ennek alapján mondhatjuk, hogy első hatványa közül
Hasonlóan készültek táblázatunk további sorai, az utolsó sorban pedig az 1000. feladatban talált statisztikai adatok találhatók. A sorokon balról jobbra végigmenve majdnem mindenütt egyre kisebb számokat találunk, csupán a 4-es alap sorában vannak 1-nél nagyobb ,,felugrások''. | 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os 7-es 8-as 9-es1j e g g y e l k e z d ő d i k21,22,...,210 közül ... 3 2 1 1 1 1- 1 - 41,42,...,410 ,,...... 4 2 - 2 - 2 - - - 81,82,...,810 ,,...... 3 2 1 1 1 1 - 1 - 51,52,...,510 ,,...... 3 1 2 - 1 1 1 - 1 31,32,...,310 ,,...... 7 3 3 2 2 1 1 1 1 91,92,...,910 ,,...... 6 4 3 2 2 1 1 1 2 61,62,...,610 ,,...... 3 2 1 1 - 1 1 - - 71,72,...,710 ,,...... 4 2 1 2 1 - 1 1 - 1,0233,...,1,0233100 közül 31 17 13 9 8 7 6 5 4 |
A c=1,0233 szám statisztikáját azért kaptuk az újabbaknál sokkal egyszerűbben, mert egyrészt c vizsgált hatványai 1 és 10 közé esnek és ezért az azonos kezdő jegyű hatványok a növekvő kitevők sorrendjében összefüggő sorozatokat alkotnak, másrészt a hatványok logaritmusát a számvonalon közel egyenlő, 0,01 egységnyi közű pontsorozat pontjai ábrázolják. Így pl. 2-essel kb. annyi hatvány kezdődik, ahányszor a 0,01 köz ráfér a 2 és 3 közé eső számok logaritmusait tartalmazó, 0,4771-0,3010=0,1761 hosszúságú szakaszra. Ugyanis egy ilyen hosszú szakaszra 0,01 hosszú közökből vagy 17 teljes köz fér rá, és ekkor ezek 16 csatlakozási pontja és 2 szabad végpontja esik a szakaszra, azaz 18 pont (és 18 hatvány), és a 2 szabad végponton kívül eső csonka közök együttes hossza 0,0061, ‐ vagy pedig 16 teljes köz van a szakaszon és a két csonka köz együttes hossza 0,0161, ekkor a pontok és hatványok száma. 15+2=17. Más lehetőség nincs, hiszen a csonka közök együttes hossza nem érheti el a 2⋅0,01=0,02 értéket. Vagyis a pontok száma a 0,1761:0,01=17,61 hányadosból vagy a fel-, vagy a lekerekítéssel adódó egész szám. (Egyébként a 0,01 hosszúság ,,kerek'' volta nem jelentett elvi könnyebbséget, hanem csak számításit.) A többi alapok statisztikáinak hasonló szabályszerűségeihez közelebb juthatunk a következő két észrevétel alapján. 1. Amikor a hatványok kezdő jegyének csupán az alaki értékére vagyunk tekintettel, ez azt jelenti, hogy a hatvány logaritmusának csak a mantisszáját tekintjük, karakterisztikáját nem. Ennek szemléletesen a számvonalon az felel meg, hogy a logaritmust ábrázoló pontnak a távolságát nem a 0 ponttól, hanem a tőle balra levő legközelebbi olyan ponttól tekintjük, amelynek a 0-tól való távolsága egész szám (nevezhetjük ezeket a számvonal rácspontjainak). Ha mármost a számvonalat ráfeszítjük, felcsavarjuk egy egységnyi kerületű körre (mint orsóra), akkor elsősorban minden rácspont a kerület ugyanazon pontjába jut, és hasonlóan a kerület egy-egy pontjába jutnak a mindazon számok logaritmusát ábrázoló pontok, amelyek egymásból 10 valamely egész kitevős hatványával való szorzás útján állnak elő. Továbbá minden ugyanazon jeggyel kezdődő szám logaritmusa a kör alakú számvonal egy ívére esik, pl. a 2-essel kezdődő számok logaritmusai a lg2=0,3010 és lg3=0,4771 pontok közti ívre.
2. Mindegyik vizsgált alap utolsó vizsgált hatványa közel jár 10-nek valamely pozitív egész kitevős hatványához:
210=1,024⋅103,410≈1,05⋅106,810≈1,07⋅109,510≈0,977⋅107,321≈1,04⋅1010,922≈0,982⋅1021,69≈1,01⋅107,712≈1,38⋅1010.(1)
Eszerint a megfelelő hatványok logaritmusát ábrázoló pontok ‐ mindig a 0-ik hatványt is figyelembe véve ‐ az egyenes számvonalnak egy közelítőleg egész mértékszámú szakaszán oszlanak el egyenlő távolságban. Ha pedig ezt a szakaszt feszítjük rá az előbbi kör alakú számvonalra, akkor a pontok más sorrendben, de az új sorrend szerint egymás utániak egymástól közelítőleg egyenlő távolságban helyezkednek el. (Hasonló ez ahhoz, hogy ha pl. körünkre 0,4 egységnyi íveket mérünk fel, akkor 5 ilyen ív felmérése után, a kört kétszer körüljárva visszaérünk a kiindulópontba; viszont a szomszédos pontok egymástól 0,2 egységnyi távolságban lesznek, ugyanis az egymás utáni ívvégpontok egy hurkolt szabályos ötszög, ún. szabályos csillagötszög egymás utáni csúcsai, és ezek egyszersmind egy közönséges ‐ vagyis nem hurkolt ‐ szabályos ötszög csúcsait is adják. Ennek a c alap esetében igen jó közelítéssel egy közönséges szabályos 100-szög felelt meg.) Most már abból, hogy e pontok közelítőleg egyenlő távolságra helyezkednek el, a fentiek szerint következik, hogy a köralakú számvonalon az 1,2,3,...,9 számok logaritmusaival mint végpontokkal meghatározott ívekre eső pontok száma körülbelül arányos a hosszukkal. Az ívek hossza 10-4 egységben rendre | 3010,1761,1250,969,792,669,580,511,458, | (2) | és mivel pl. a 3-as alap esetén a körön 21 pont lesz, azért az arányszámok az ívek 21-szeresei: | 6,321,3,698,2,625,2,035,1,663,1,405,1,218,1,073,0,962, | a talált értékek pedig valóban az innen fel- vagy lekerekítéssel adódó egész számok: A táblázaton a 4-es alap sorában mutatkozó nagyobb, 2 egységnyi felugrások avval magyarázhatók, hogy 4-nek nem a 10-ik hatványa az első olyan, amely igen közel áll 10 egy hatványához, hanem már az 5-ik: 45=210=1,024⋅103. Így 46,...,410 kezdő jegyei rendre egyeznek az első öt hatványéval, ezért a sor minden adata páros szám. Ez abból is látszik, hogy az (1)-beli 410≈1,05⋅106-ban 4 és 10 kitevőjéhez van az 1-nél nagyobb közös osztó. ‐ Bár ugyanez a tény 712≈1,38⋅1010 esetében is fennáll ‐ láttuk, hogy 76≈1,176⋅105 ‐, de az 1,176≈7/6 szorzó lényegesen nagyobb a 4-es alap esetében talált 1,024≈42/41-nél. Ez magyarázza, hogy a 77,...,712 hatványok közül csak 3-nak a kezdő jegye egyezik a 6-tal kisebb kitevőjű hatvány kezdő jegyével, így a táblázatnak a 7-es alaphoz tartozó sora nem mutat 1-nél nagyobb felugrásokat. ‐ Nyilván a 4-es alaphoz hasonló ugrások adódnának, ha pl. a 2-es alap mellett az első 10 helyett az első 20, vagy 30 hatványt tekintenők. Mindezekre támaszkodva, és egyrészt annak figyelembevételével, hogy a négyjegyű táblázat alapján lg21000=1000⋅lg2≈301,0, másrészt (2)-re tekintettel, ‐ adódik, hogy a vizsgálandó hatványok közül az | 1-es2-es3-as4-es5-ös6-os7-es8-as9-es | jeggyel kezdődők száma, 1‐2 egységnyi hibát megengedve | 301,176,125,97,79,67,58,51,46. | A 4-es alapnál látott és a 2-es alap első 20, 30 hatványára vonatkozóan említett egyenetlenség itt nem léphet fel. Ezt a következőképpen láthatjuk be. A 211,...,220 hatványok kezdő jegyeit valóban rendre egyezőknek találjuk a 10-zel kisebb kitevőjű hatvány kezdő jegyével, azonban a 2-ik jegy 27=128 és 217≈1,31⋅105 esetében már eltérő. A további 98 ilyen 10-tagú sorozatot 21,...,210-ből rendre 220, 230, ..., 290-nel való szorzás útján kapjuk, és e szorzók 1,049⋅106, 1,074⋅109, ... normálalakjában az 1-től egyre jobban eltérő szorzók lépnek fel. Az utolsó szorzó pedig ismét közel áll az 1-hez: lg2990=990⋅lg2≈990⋅0,3010=297,99≈298,0 alapján 2990≈1⋅10298 (a szorzatot 4 értékes jegyre kerekítettük). Eszerint a 7-es alap esetében látott eltolódás itt is fellép ‐ bár sokkal lassabban ‐ és a 210, 220=(210)2, 230=(210)3, ..., 2990=(210)99, 21000=(210)100 hatványok kezdő számjegye jó megközelítéssel ugyanúgy tolódik végig minden számjegyen, mint az 1000. feladatban a 4 jegyre felfelé kerekítéssel éppen 1,024=210⋅10-3-at adó c=1,0233 alap első 100 hatványának kezdő számjegye. ‐ Ezzel vizsgálatunkat befejeztük. Összeállítva és kiegészítésekkel ellátva a következők dolgozataiból:
Máté Zsolt (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.), | Biborka Tamás (Makó, József A. g. III. o. t.) és | Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.). | Megjegyzések. 1. Mivel a négyjegyű logaritmustáblázat kiegészítése az 1000-1099 számokra is megadja a mantisszát, azért lg1024=lg210=3,0103-ból lg2-t 5 jegyre is megkaphatjuk: 0,30103. Ezt figyelembe véve lg2970≈292,00 és lg2980≈295,01 (5 értékes jegyre kerekítve), vagyis a legutóbb említett végigtolódás a 970-ik hatvány körül fejeződik be, a további 30 hatvány pedig kissé torzítja a fenti eredményt. Így a (2) sorozat számait 970-nel szorozva, majd 21,22,...,230 statisztikáját hozzáadva a következő eloszlást kapjuk:
1-es:292+9=301,4-es:94+3=97,7-es:56+0=56,2-es:171+6=177,5-ös:77+3=80,8-as:50+3=53,3-as:121+3=124,6-os:65+3=68,9-es:44+0=44.
A két eloszlás megfelelő adatai között legfeljebb 2 egységnyi eltérés van. 2. Többen annyira pontosnak vették a kezdő jegyek ismétlődését, hogy becslésüket így adták meg: minden számjeggyel 100-szor annyi hatvány kezdődik, mint 21,22,...,210 között. Ezek szerint 21000-ig nincs ‐ és persze azután sincs ‐ 7-es és 9-es jeggyel kezdődő hatvány. Valóban elég későn adódnak az első ilyenek: 216≈7,03⋅1013 és 253≈9,004⋅1015. 3. Egy dolgozat merész és alaptalan általánosítása: ,,ez az eloszlási arány áll fenn bármely szám első 1000 hatványára''. Ez téves, könnyű belátni, hogy pl. 211001 első 1000 hatványának mindegyike 1-essel kezdődik és 0,911000 első 1000 hatványa mindegyikében az első értékes jegy 9-es. Ugyanezen számok további 1000 hatványában is csak a 2-es és a 3-as, ill. a 8-as lép fel első értékes jegyként ‐ viszont ezek között nincs 1-es, ill. 9-es kezdetű. 4. Néhányan szinte rabszolgai munkával logaritmusok alapján adtak elég jó becsléseket, de nem próbálták meg megmagyarázni az észlelhető szabályszerűségeket. Ajánljuk megoldóink figyelmébe, hogy efféle terjedelmesnek látszó kérdésekben egyaránt kerüljék a konkrét példák nélküli, alaptalan általánosítást és a mindvégig a számpéldáknál való megmaradást is. A feladat előkészítő részének ,,kísérleti'' példaanyagát arra szántuk, hogy ezek eredményei alapozzák meg az általánosabb meggondolásokat. Lásd az 1022. feladat 5. ábráját.A 7-es alap hatványai közül csak 6-ot tekinteni túl kevés lett volna a ,,tapasztalatszerzéshez''. Éppen a 4-es alappal való összevetés céljára álltunk meg 712-nél, különben az (1) összeállításban lg7≈11/13 alapján 713≈0,969⋅1011 célszerűbb lett volna. |