Feladat: 971. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Arató P. ,  Barabás Gy. ,  Bartha L. ,  Bencsik I. ,  Bollobás B. ,  Csanak Gy. ,  Dávid G. ,  Fazekas Ferenc ,  Ferentzy Kinga ,  Grallert F. ,  Halász Gábor ,  Kolonits F. ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Máté Zs. ,  Mihályffy L. ,  Náray M. ,  Pósa L. ,  Raisz Klára ,  Tihanyi A. 
Füzet: 1960/január, 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör egyenlete, Négyzetrács geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/április: 971. matematika feladat

Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű koordinátarendszer (2,1/3) pontja körül írt bármely körön legfeljebb egy rácspont van (vagyis olyan pont, amelynek mindkét koordinátája egész szám).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy amennyiben az A(x1,y1), B(x2,y2) rácspontok az adott pont körül r sugárral írt körön vannak, vagyis kielégítik annak
(x-2)2+(y-1/3)2=r2
egyenletét, akkor B azonos A-val, vagyis egynél több ilyen pont nem lehet. Valóban, így az
(x1-2)2+(y1-1/3)2=r2(x2-2)2+(y2-1/3)2=r2
egyenlőségek különbségét képezve rendezés után
x12-x22+y12-y22-2(y1-y2)/3=22(x1-x2).(1)
Itt a bal oldali szám az x1, x2, y1, y2, 2, 3 egész számokból a négy alapművelettel áll elő, tehát racionális. Így a jobb oldali szám is racionális, ami csak úgy lehet, ha x1-x2=0, vagyis x2=x1, B abszcisszája egyenlő A-éval. Ekkor (1) így egyszerűsödik:
y12-y22-2(y1-y2)/3=(y1-y2)(y1+y2-2/3)=0.

A második tényező törtszám (mert y1+y2 egész), azaz nem 0, kell tehát, hogy az elsőre álljon: y1-y2=0, y2=y1. Eszerint B és A ordinátában is egyeznek, és így valóban BA, amit bizonyítani akartunk.
 

Fazekas Ferenc (Budapest, Fáy A. g. III. o. t.)