Feladat: 956. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató P. ,  Bartha L. ,  Bollobás Béla ,  Czékus L. ,  Dániel G. ,  Halász G. ,  Hegedüs István ,  Jahn A. ,  Kisvölcsey J. ,  Kolonits F. ,  Komlóssy Gy. ,  Máté A. ,  Molnár E. ,  Muszély Gy. ,  Parti Enikő ,  Ratkó I. ,  Ratkó István ,  Sós T. ,  Szücs J. ,  Tatai P. ,  Tomcsányi Gy. ,  Zeke A. 
Füzet: 1959/november, 108 - 110. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb feladványok, Indirekt bizonyítási mód, Helyvektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/február: 956. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Helyezzünk alakzataink síkjára olyan derékszögű koordinátarendszert, melynek X tengelye párhuzamos az x egyenessel, origója pedig a C=A+B alakzat képezésénél használt kezdőpont. Ekkor az x-szel párhuzamos támaszegyenesek egyenlete y=k alakú; legyen az A, B, C alakzat ilyen támaszsávjait határoló támaszegyeneseinek egyenletében rendre k=a1, a2; b1, b2; c1, c2, úgy hogy a1a2, b1b2, c1c2. A támaszegyenesek és a támaszsáv fogalmából következik, hogy A, B, C-nek van legalább egy a1, a2, b1, b2, c1, c2 ordinátájú pontja, legyen egy-egy ilyen rendre A1, A2; B1, B2; C1, C2, továbbá hogy A, B, C tetszés szerinti U(Xu,Yu), V(Xv,Yv), W(Xw,Yw) pontjának ordinátájára a1yua2, b1yvb2, c1ywc2. Másrészt a támaszsávok szélességére fennáll: a=a2-a1, b=b2-b1, c=c2-c1. Ennek megfelelően ezt fogjuk bebizonyítani: fennáll c2-c1=(a2-a1)+(b2-b1)=(a2+b2)-(a1+b1), mert c2=a2+b2 és c1=a1+b1.
Valóban, c1, ill. c2 sem nagyobb, sem kisebb nem lehet, mint a1+b1, ill. a2+b2. Ugyanis az összegtartomány-képezés OU+OV=OW vektori módjából következik, hogy e vektoroknak az Y-tengellyel párhuzamos komponenseire, vagyis az ordinátákra yu+yv=yw. Minden A-, ill. B-beli U, V pontpárhoz tartozó W pont benne van C-ben. Ezt az A1, B1 és az A2, B2 párra alkalmazva a fentiek szerint

a1+b1c1,a2+b2c2.(1)
Másrészt C-be csak olyan W pontok tartoznak, amelyekhez van A-, ill. B-ben a vektor-egyenlőséget kielégítő U, V. Ezt C1, C2-re alkalmazva van A-ban olyan A' és A'', van B-ben olyan B', B'' pont, ordinátáik rendre a', a'', b', b'', hogy OA'+OB'=OC1, ill. OA''+OB''=OC2, tehát
a'+b'=c1,a''+b''=c2.(2)
Itt egyrészt a'a1, b'b1, másrészt a''a2, b''b2, tehát (2) bal oldalán a', b', ill. a'', b''-t a1, b1, a2, b2-vel kicserélve az összeget csökkentjük vagy változatlanul hagyjuk, ill. növeljük vagy változatlanul hagyjuk, ezért
a1+b1c1,a2+b2c2.(3)
Most már (3) szerint c1 nem kisebb a1+b1-nél, (1) szerint pedig nem nagyobb nála, tehát csak egyenlő lehet vele; ugyanez áll a2+b2 és c2 között is, és ezt akartuk bizonyítani.
 

Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t)
 

b) Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz: van B-nek legalább egy olyan, b1 és b2 oldalakkal biró T támasztéglalapja, amelyre b1b2. Legyen T két szomszédos oldalegyenese x1 és x2 (úgy, hogy x1//b2 és x2//b1), tekintsük A-nak x1 és x2-vel párhuzamos oldalú Ta támasznégyzetét, és legyen ennek oldala a. Minden támasztéglalap (tehát a támasznégyzet is!) két egymásra merőleges határvonalú támaszsáv közös része; így az a) állításnak az x1, x2 irányokra való alkalmazásával az A+B összegtartomány x1, x2-vel párhuzamos támaszsávjának szélessége:
c1=a+b1,c2=a+b2.
Innen a fentiek szerint c1c2 tehát A+B nem négyzetekkel burkolható. Következtetésünk ellentétben áll a feltevéssel, ezért kiegészítő feltevésünk helytelen, tehát B négyzetekkel burkolható.
 

Ratkó István (Budapest, Arany J. g. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Az a) állítás helyessége az idézett cikk 3. pontjának utolsó bekezdésére* támaszkodva szemléletesen így látható be. Tekintsük síkunkat függőlegesnek, benne x-et vízszintesnek, válasszuk O-nak B egy belső pontját, és legyen B támaszsávja ,,alsó'' támaszegyenesén egy B-hez tartozó B1 pont O alatti ,,mélysége'' b1, ,,felső'' támaszegyenese egy B-hez tartozó B2 pontjának O fölötti magassága b2; ekkor O-hoz viszonyítva nincs B-nek b1-nél mélyebben és b2-nél magasabban fekvő pontja és b1+b2=b. Legyen továbbá A alsó, ill. felső támaszegyenesének egy-egy A-hoz tartozó pontja A1, ill. A2, ekkor A2 magassága A1 fölött a. Minthogy A és B konvexek, elégnek látszik, ha az A+B tartománynak lefedéssel való előállítása végett B végtelen sok példányából az O-nál fogva A-nak csak minden kerületi pontjára helyezünk egy-egy példányt, más szóval, ha B-t O-nál fogva és eredeti állását megtartva végigvezetjük A kerületén; az így ,,súrolt'' pontok, továbbá A belseje alkotják A+B-t az O kezdőpontra vonatkozóan. Mármost A+B-nek van A1-nél b1-gyel mélyebben fekvő pontja, ilyen pl. B1-nek az a B1* helyzete, amikor O A1-ben van (vagy amikor O az A alsó támaszegyenesének A-hoz tartozó esetleges más pontjában van), de ennél mélyebben fekvő pontja nincs. És van A+B-nek A1-nél a+b2-vel magasabban, vagyis A2-nél b2-vel magasabban fekvő pontja, ilyen pl. B2-nek az a B2* helyzete, amikor O A2-ben van, de ennél magasabban fekvő nincs. Ezért A+B támaszsávjának szélessége (,,magassága'') b1+a+b2=a+b.
 

Hegedűs István (Budapest, József A. g. III. o. t.)
 

2. Ez a ,,belátás'' a szemlélet számára elfogadható, de nem tekinthető szoros értelemben vett bizonyításnak. Jó megértés érdekében szemléletesen szokás előkészíteni a használandó fogalmakat, ez után következik a fogalom pontos meghatározása ‐ amint az ebben a tárgykörben is történt (XVIII. kötet 1. sz. 4. o. alsó és 5. o. első bekezdése), végül esetleg más utak említése, amelyekkel a megszerzett fogalmat meg lehet erősíteni. Rövid cikkekben nincs is mindig hely a részletes kifejtésre, így egyes tények ,,nyilvánvalónak'' minősülnek, bizonyításuk pedig az olvasóra marad. Ez történt feladatunkban is, de ez többeket megtévesztett. Több dolgozat az a) állítást a cikk II. tételével kívánta bizonyítani, mondván, hogy a) benne van a tételben. Ámde a II. tétel bizonyításának I. bekezdése éppen az a) állításra, ill. annál valamivel többre ,,támaszkodik'', e könnyen belátható tény bizonyításának végrehajtását az olvasó számára hagyva, hogy az az egyszerű, de mégis újszerű gondolatokat gyakorolhassa. Erre a munkára serkent a feladat.
3. A b) állítás bizonyításaiban gyakori hiba, hogy a B támasztéglalapjának oldalai az A és A+B támasznégyzeteinek oldalaiból b1=c1-a és b2=c2-a-nak fejezik ki, evvel mintegy a B tartományt az A+B és A tartományok ,,különbségi tartományának'' tekintve ‐ holott ilyen fogalmat a cikk nem értelmezett. Más kérdés az, hogy az a)-beli tételből nem nehéz bizonyítani az állítás igaz voltát.
*XVIII. kötet 1. sz. 6. o.