A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Helyezzünk alakzataink síkjára olyan derékszögű koordinátarendszert, melynek tengelye párhuzamos az egyenessel, origója pedig a alakzat képezésénél használt kezdőpont. Ekkor az -szel párhuzamos támaszegyenesek egyenlete alakú; legyen az , , alakzat ilyen támaszsávjait határoló támaszegyeneseinek egyenletében rendre , ; , ; , , úgy hogy , , . A támaszegyenesek és a támaszsáv fogalmából következik, hogy , , -nek van legalább egy , , , , , ordinátájú pontja, legyen egy-egy ilyen rendre , ; , ; , , továbbá hogy , , tetszés szerinti , , pontjának ordinátájára , , . Másrészt a támaszsávok szélességére fennáll: , , . Ennek megfelelően ezt fogjuk bebizonyítani: fennáll , mert és . Valóban, , ill. sem nagyobb, sem kisebb nem lehet, mint , ill. . Ugyanis az összegtartomány-képezés vektori módjából következik, hogy e vektoroknak az -tengellyel párhuzamos komponenseire, vagyis az ordinátákra . Minden -, ill. -beli , pontpárhoz tartozó pont benne van -ben. Ezt az , és az , párra alkalmazva a fentiek szerint Másrészt -be csak olyan pontok tartoznak, amelyekhez van , ill. ben a vektor-egyenlőséget kielégítő , . Ezt , -re alkalmazva van -ban olyan és , van -ben olyan , pont, ordinátáik rendre , , , , hogy , ill. , tehát Itt egyrészt , , másrészt , , tehát (2) bal oldalán , , ill. , -t , , , -vel kicserélve az összeget csökkentjük vagy változatlanul hagyjuk, ill. növeljük vagy változatlanul hagyjuk, ezért Most már (3) szerint nem kisebb -nél, (1) szerint pedig nem nagyobb nála, tehát csak egyenlő lehet vele; ugyanez áll és között is, és ezt akartuk bizonyítani.
Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t) | b) Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz: van -nek legalább egy olyan, és oldalakkal biró támasztéglalapja, amelyre . Legyen két szomszédos oldalegyenese és (úgy, hogy és ), tekintsük -nak és -vel párhuzamos oldalú támasznégyzetét, és legyen ennek oldala . Minden támasztéglalap (tehát a támasznégyzet is!) két egymásra merőleges határvonalú támaszsáv közös része; így az a) állításnak az , irányokra való alkalmazásával az összegtartomány , -vel párhuzamos támaszsávjának szélessége: Innen a fentiek szerint tehát nem négyzetekkel burkolható. Következtetésünk ellentétben áll a feltevéssel, ezért kiegészítő feltevésünk helytelen, tehát négyzetekkel burkolható.
Ratkó István (Budapest, Arany J. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az a) állítás helyessége az idézett cikk 3. pontjának utolsó bekezdésére támaszkodva szemléletesen így látható be. Tekintsük síkunkat függőlegesnek, benne -et vízszintesnek, válasszuk -nak egy belső pontját, és legyen támaszsávja ,,alsó'' támaszegyenesén egy -hez tartozó pont alatti ,,mélysége'' , ,,felső'' támaszegyenese egy -hez tartozó pontjának fölötti magassága ; ekkor -hoz viszonyítva nincs -nek -nél mélyebben és -nél magasabban fekvő pontja és . Legyen továbbá alsó, ill. felső támaszegyenesének egy-egy -hoz tartozó pontja , ill. , ekkor magassága fölött . Minthogy és konvexek, elégnek látszik, ha az tartománynak lefedéssel való előállítása végett végtelen sok példányából az -nál fogva -nak csak minden kerületi pontjára helyezünk egy-egy példányt, más szóval, ha -t -nál fogva és eredeti állását megtartva végigvezetjük kerületén; az így ,,súrolt'' pontok, továbbá belseje alkotják -t az kezdőpontra vonatkozóan. Mármost -nek van -nél -gyel mélyebben fekvő pontja, ilyen pl. -nek az a helyzete, amikor -ben van (vagy amikor az alsó támaszegyenesének -hoz tartozó esetleges más pontjában van), de ennél mélyebben fekvő pontja nincs. És van -nek -nél -vel magasabban, vagyis -nél -vel magasabban fekvő pontja, ilyen pl. -nek az a helyzete, amikor -ben van, de ennél magasabban fekvő nincs. Ezért támaszsávjának szélessége (,,magassága'') .
Hegedűs István (Budapest, József A. g. III. o. t.) | 2. Ez a ,,belátás'' a szemlélet számára elfogadható, de nem tekinthető szoros értelemben vett bizonyításnak. Jó megértés érdekében szemléletesen szokás előkészíteni a használandó fogalmakat, ez után következik a fogalom pontos meghatározása ‐ amint az ebben a tárgykörben is történt (XVIII. kötet 1. sz. 4. o. alsó és 5. o. első bekezdése), végül esetleg más utak említése, amelyekkel a megszerzett fogalmat meg lehet erősíteni. Rövid cikkekben nincs is mindig hely a részletes kifejtésre, így egyes tények ,,nyilvánvalónak'' minősülnek, bizonyításuk pedig az olvasóra marad. Ez történt feladatunkban is, de ez többeket megtévesztett. Több dolgozat az a) állítást a cikk II. tételével kívánta bizonyítani, mondván, hogy a) benne van a tételben. Ámde a II. tétel bizonyításának I. bekezdése éppen az a) állításra, ill. annál valamivel többre ,,támaszkodik'', e könnyen belátható tény bizonyításának végrehajtását az olvasó számára hagyva, hogy az az egyszerű, de mégis újszerű gondolatokat gyakorolhassa. Erre a munkára serkent a feladat. 3. A b) állítás bizonyításaiban gyakori hiba, hogy a támasztéglalapjának oldalai az és támasznégyzeteinek oldalaiból és -nak fejezik ki, evvel mintegy a tartományt az és tartományok ,,különbségi tartományának'' tekintve ‐ holott ilyen fogalmat a cikk nem értelmezett. Más kérdés az, hogy az a)-beli tételből nem nehéz bizonyítani az állítás igaz voltát. XVIII. kötet 1. sz. 6. o. |