Feladat: 948. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató P. ,  Bencsik I. ,  Bollobás B. ,  Bürger N. ,  Czékus L. ,  Dániel G. ,  Fejes Z. ,  Gyene A. ,  Hadik Z. ,  Hajna J. ,  Halász Á. ,  Halász G. ,  Holop A. ,  Kolonits F. ,  Lengvári I. ,  Máthé Cs. ,  Mészáros Kornélia ,  Muszély Gy. ,  Náray Miklós ,  Németh L. ,  Pósch Margit ,  S. Nagy Erzsébet ,  Serfőző G. ,  Szász D. ,  Szücs J. ,  Tihanyi A. ,  Várady G. 
Füzet: 1959/november, 99 - 102. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/január: 948. matematika feladat

A 889. feladat megoldásához kapcsolódva * vizsgáljuk meg az ott bebizonyított tétel érvényességét arra az esetre, ha az ABCD és A'B'C'D' paralelogrammák ellentétes körüljárási értelemben vannak betűzve. Mit mondhatunk az A''B''C''D'' paralelogrammáról, ha
a) a két eredeti paralelogramma egybeesik,
b) a két eredeti paralelogramma egymásnak valamely tengelyre, ill.
c) a két eredeti paralelogramma egymásnak valamely pontra nézve tükrös párja,
 


és az a)c) esetekben az A, B, C, D betűket állandóan tartva az A', B', C', D' betűket úgy írjuk minden lehetséges módon a csúcsokhoz, hogy szomszédos betűk szomszédos csúcsok jelei legyenek.
 

d) az AB=DC, BC=AD, A'B'=D'C' és B'C'=A'D' egyenlőségek fennállása mellett az A, B, C, D és A', B', C', D' pontnégyesek egyike, ill. mindketteje egy‐egy egyenesre, ill.
 

e) két‐két pontba esik;
f) az A', B', C', D' pontok egybeesnek.
*lásd a XVII. kötet 3‐4. számában, 115‐117. o. 1958 november.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 889. feladat megoldásaiban nem használtuk ki, hogy az adott paralelogrammák betűzésének körüljárási iránya megegyező-e vagy ellentétes, ezért a bizonyítások és az állítás érvényessége függetlenek az irányoktól. Sőt a d), e) esetek szerint akkor is érvényes az állítás, amikor körüljárási irányról nem is lehet beszélni.*

 
 
1. ábra
 

A továbbiakban ahol csak lehet, paralelogrammáinkat röviden P, P', P''-vel jelöljük, az A, A', A'' és hasonló ponthármasok tagjait pedig általában X, X', X''-vel. Az a)c) esetekben feltehetjük, hogy P a pozitív körüljárás irányában van betűzve, ezt jelképesen így fogjuk írni: P>0. Hasonló jelentése van az alábbiakban P'>0, P'<0-nak. P'' betűzése 8-féle lehet (körüljárás a 4 kezdőpont valamelyikéből, 2 irányban).
Az a) eset P'>0 betűzéseire hasonlatszerűen, tágabb értelemben azt mondhatjuk, hogy bennük az X'-k X-hez képest P kerületén 0, 1, -1, vagy 2 ,,oldallal'' elfordulnak.
 
 
2. ábra
 

Így rendre a négy XX' szakaszból mindegyiknek 0 a hossza, ill. mindegyik PP'-nek egy oldalával azonos, éspedig mindegyik más oldallal (két betűzés ilyen), ill. mindegyik egy átlóval azonos (2. ábra); ‐ így P'' azonos rendre P-vel, ill. (két esetben) a P oldalfelező pontjaival meghatározott paralelogrammával, ill. elfajul P középpontjává. ‐ P'<0 mellett 2 betűzésben a négy XX' szakasz egyike sem 0 hosszúságú, 2-ben pedig két XX' szakasz 0-val egyenlő.
 
 
3. ábra
 

Az előbbi 2 esetben (3. ábra felső része, egyszerre vagy csak az 1-es, vagy csak a 2-es indexű X', X'' pontokat tekintsük) mind a négy X'' egy-egy oldalt felez, párosával ugyanazt az oldalt, tehát P'' a P-nek valamelyik középvonalává fajul el ‐ mint e)-ben P; az utóbbi 2 esetben (3. ábra alsó része 3 és 4 indexszel) P'' egyik átlója azonos P megfelelő átlójával, másik átlója pedig elfajultan O-ba esik. *
P'' alakját és állását illetően ugyanezen eredményekre jutunk a c) esetekben, mert P-nek a K középpontra való P' tükörképét úgy is megkaphatjuk, hogy P-t előbb a saját O középpontjára tükrözzük (így önmagába megy át, ez az a) eset), majd az OK irányban 2OK-val eltoljuk. P'' nyolc alakja a felezések folytán az előző eredményekből OK-val való eltolás útján jön létre.
A b) esetben legyen a tengely t, és az X pont t-re való tükörképének állandó, a betűzéstől független jele X0. Itt először a természetesebb P'<0 betűzéseket tekintjük (tengelyes tükrözéssel a körüljárási irány ellentétesre fordul).
 
 

Ha minden X'X0, akkor minden X'' a t-n van, és így P'' a t egy szakaszává fajul el (4. ábra jobb oldali 2/3 része az 1 indexszel, itt van a többi P'<0 betűzés is a 24 indexekkel, a P'>0 betűzések pedig a bal oldali 2/3 részben; a P idom az ábra két felére közös, így jobban látszik, hogy a nyolc P''-nek 32 csúcsa ugyanaz a 16 pont, más-más csoportosításban).
A továbbiak előkészítéséül tekintsük egy EF szakasszá elfajult P esetét (5. ábra) és mellőzzük azt a (még egyszerűbb) esetet, ha e szakasz merőleges t-re.
 
 
5. ábra
 

Így EF és a t-re való E0F0 képe egy egyenlő szárú trapéz csúcsait adja, abban e két szakasz vagy az átlók, vagy a szárak szerepét játssza aszerint, hogy t metszi-e EF-et, vagy nem. Ha E'E0 és F'F0, akkor E''F'' az EF-nek t-n való vetülete; E'F0 és F'E0 esetén pedig E''F'' a k középvonalnak a szárak, ill. az átlók közti szakasza, felezőpontja t-re esik, és E''F'' hossza annyi, mint EF-nek k-ra való vetülete. ‐ E segédtétel alkalmazásaiban k-t úgy értelmezzük, mint az EF szakasz G felezőpontján átmenő, t-re merőleges egyenest.
Már most abban a P'<0 betűzésben, amelyben minden X' a P' idom X0-ból induló átlójának másik végpontjába jut (3-as index), kérdésünk megoldható a segédtétel kétszeri alkalmazásával: EF-nek AC-t, ill. BD-t véve így mindkétszer GO, k=OO'; eszerint A''C'' és B''D'' k-ra esnek, P'' ismét szakasszá fajul. ‐ A hátralevő két P'<0 betűzés melletti P''-k nem mutatnak említendő érdekességet, egymásnak t- és k-ra tükörképei (2-es és 4-es index).
A P'>0 betűzések közül az 1-es és 3-as indexűben AC és BD-re alkalmazhatjuk segédtételünket, a 2-es indexűben AB és CD-re, a 4-esben AD és BC-re (G szerepét átveszik P megfelelő oldalainak felezőpontjai). Mind a négy P''-nek t és k tengelye, az előbbi kettő rombusz, mert csúcsaik a tengelyeken vannak, az utóbbi kettő téglalap. Ez abból következik, hogy A2''B2''=C2''D2'' és A2''D2''=B2''C2'', mint AB=CD, ill. AD=BC-nek k irányára való vetületei, és felezőpontjuk t-n van.
A d) és e) esetek ‐ a várakozással ellentétben ‐ nem mutatnak biztosan bekövetkező, említésre érdemes szabályszerűséget, az f) esetben pedig P'' nyilvánvalóan P-nek felére kicsinyített képe, P'-nek O' ,,középpontjából'' szerkesztve.
 

Náray Miklós (Budapest, Széchenyi I. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Többen félreértették a feladat szövegét (amely valóban kissé ,,szokatlan'', diszkusszió-jellegű kérdéseket tett fel), pl. a második mondatban felsorolt a)f) esetekben rendre újra és újra bizonyították a 889. feladatban már bebizonyított tételt. Nemcsak hogy lehet választ adni a szöveg első mondatára a második mondat nélkül, hanem csak így lehet. A második mondat új irányú kérdést vet fel. Az első mondatra adott válasz nem teszi a tételt általánosabban érvényessé, hanem a vizsgálatban tisztázódik, jobban tudatosodik számunkra a tétel érvényességi köre. Hasonló a céljuk, de más irányban az a)f) kérdéseknek, olyan esetek felsorolásával, amelyekre legtöbben ,,nem is gondoltak volna''. (Pedig a lehetőségeket nem is meríthetjük ki; nem tekintettünk pl. forgatásokat P és P' között, nem gondoltunk a térre, pedig P és P' síkjai különbözők is lehetnek, stb.; másrészt nem vizsgáltuk a tétel megfordítását.)
Az egyszerű és érdekes 889. feladattal kapcsolatban egyrészt arra kívántunk rámutatni, hogy amikor kérdéseket ‐ szokás szerint ‐ egyetlen ábrához kapcsolódva vizsgálunk meg, mennyi lehetőség marad rejtve előlünk; másrészt arra, hogy a matematikában nemcsak számítási, szerkesztési, bizonyítási feladatok lépnek fel, hanem néha bizonyos tényeket: alakokat, elfajulásokat, helyzeteket, kapcsolatokat le is kell írnunk. Ilyesmik voltak azok, ,,amiket P''-ről mondhattunk.''

*Az érvényesség nem a tetszés szerinti pontnégyes oldalfelező pontnégyese által alkotott ,,paralelogrammára'' vonatkozó állítás (I. megoldás) általános megfogalmazásán múlik ‐ mint némely dolgozat állítja. ‐ Arra a fogalmazásra, mint a megoldás is említi, egyező körüljárású betűzéseknél is szükség van, lásd 1. ábra.

*P-nek hasonló elfajulását szó szerint nem tűztük ki vizsgálatra, de d) ezeket is magában foglalja, akárcsak e)-t is. ‐ Szerk.