Kezdőlap


Feladat:	945. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató P. , Barabás Gy. , Bartha L. , Bencsik I. , Bognár L. (Tföldvár) , Bollobás B. , Dániel G. , Grallert F. , Gyene A. , Hadik Z. , Hahn J. , Hajna J. , Halász Gábor , Jahn A. , Jelitai Á. , Klimó J. , Mezei F. , Náray M. (Bp.) , Papp Éva , Parti Enikő , Posch Margit , Timár P. , Tusnády G. , Vörös I.
Füzet:	1959/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 945. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 539. gyakorlatban láttuk, hogy az $x_{n}$ , $y_{n}$ számpárok kielégítik az $y^{2} = 2 x^{2} + 1$ egyenletet, vagyis teljesül $y_{n}^{2} = 2 x_{n}^{2} + 1$ . Innen a jobb oldal csökkentésével $y_{n}^{2} > 2 x_{n}^{2}$ majd $y_{n} > \sqrt[]{2} \cdot x_{n}$ (mert mindkét oldal pozitív), így valóban $y_{n} : x_{n} > \sqrt[]{2}$ . Eszerint az $a_{n}$ eltérés pozitív.
Az értelmezés szerint $k = 1$ , 2, 3, 4-re $x_{k} = 2$ , 12, 70, 408, $y_{k} = 3$ , 17, 99, 577, másrészt $\sqrt[]{2} = 1, 414 213 ...$ , így az egymás utáni többletek: $a_{1} = 0, 085 786 ...$ , $a_{2} = 0, 002 453 ...$ , $a_{3} = 0, 000 072 ...$ , $a_{4} = 0, 000 002 ...$ (6 tizedes jegyet írtunk ki, hogy $a_{4}$ első értékes jegyét még lássuk).
Az értelmezések szerint általában

\begin{matrix} a_{k + 1} = \frac{y_{k + 1}}{x_{k + 1}} - \sqrt[]{2} = \frac{4 x_{k} + 3 y_{k}}{3 x_{k} + 2 y_{k}} - \sqrt[]{2} = \frac{(4 - 3 \sqrt[]{2}) x_{k} + (3 - 2 \sqrt[]{2}) y_{k}}{3 x_{k} + 2 y_{k}} = \\ = \frac{(4 - 3 \sqrt[]{2}) + (3 - 2 \sqrt[]{2}) \frac{y_{k}}{x_{k}}}{3 + 2 \frac{y_{k}}{x - k}} = \frac{(4 - 3 \sqrt[]{2}) + (3 - 2 \sqrt[]{2}) (\sqrt[]{2} + a_{k})}{3 + 2 \frac{y_{k}}{x_{k}}} < \\ < \frac{(3 - 2 \sqrt[]{2}) a_{k}}{3 + 2 \sqrt[]{2}} = {(3 - 2 \sqrt[]{2})}^{2} a_{k} = (17 - 12 \sqrt[]{2}) a_{k} \end{matrix}

(a nevezőt csökkentettük és igy a tört értékét növeltük, amikor

y_{k} / x_{k}

helyett a kisebb

\sqrt[]{2}

-t írtuk). Vegyük észre, hogy

a_{k}

együtthatója a legutóbbi alakban

12 a_{2} \approx 0, 029 4 ...

, ez valóban kisebb

0, 03

-nál,

a_{k + 1} < 0, 03 a_{k}

; ezzel az egyenlőtlenség helyes voltát bebizonyítottuk.
A keresett

n

-re

a_{n} < 10^{- 10}

. Ez a most bizonyított egyenlőtlenség alapján teljesül, ha elértük, hogy

0, 03 \cdot a_{n - 1} < 10^{- 10}

, ill. hogy a

0, 03^{2} \cdot a_{n - 2}

0, 03^{3} \cdot a_{n - 3}

...

0, 03^{n - 1} \cdot a_{1}

rendre nagyobb és nagyobb számok legnagyobbika is kisebb

10^{- 10}

-nél. Láttuk, hogy

a_{1} < 0, 09 = 10^{2} \cdot 0, 03^{2}

; másrészt

0, 03 < 10^{- 2} \cdot \sqrt[]{10} = 10^{- 1, 5}

, így

a_{n} < 10^{- 10}

-hez elegendő, ha

a_{n} < 10^{2} \cdot 0, 03^{n + 1} < 10^{2} {(10^{- 1, 5})}^{n + 1} = 10^{- (1, 5^{n} - 0, 5)} < 10^{- 10}

, azaz

1, 5 n - 0, 5 > 10

n > 7

. (Esetleg már kisebb

n

-re is teljesül.)
Mindezek szerint

\sqrt[]{2}

értékét pl. az

y_{8} / x_{8}

hányados révén racionális műveletekkel

10^{- 10}

-nél kisebb hibával megközelíthetjük.

Halász Gábor (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)