|
Feladat: |
926. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajnóczky I. , Bollobás B. , Buchberger J. , Bürger N. , Czékus L. , Fazekas F. (III. o.) , Fülöp J. , Gaál S. , Gergely Cs. , Gerlai M. , Hadik Z. , Hegedüs István , Horváth Árpád , Horváth Sándor , Jahn A. , Mezey F. , Muszély Gy. , Náray Miklós , Németh Judit , Réti A. , Szabó István , Szász D. , Tatai P. , Tusnády G. , Valkó J. , Várady G. |
Füzet: |
1959/május,
133 - 134. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Súlyvonal, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Háromszögek szerkesztése, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1958/október: 926. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Képzeljük a feladatot megoldottnak, és legyen az háromszög csúcsából húzott magasság, szögfelező, ill. súlyvonal második metszéspontja az középpontú körülírt körrel rendre , , . Legyen továbbá a oldalfelezőpontja (az szakaszon) .
Ismeretes, hogy , és így is felezi -nak az -t nem tartalmazó ívét, így felező merőlegese -nak, ezért egyrészt átmegy -on, másrészt párhuzamos -mel. Ezek alapján a szerkesztés szakaszai: , , meghatározzák -t és -t; az -val -en át húzott párhuzamos -t másodszor -ban metszi; és metszéspontja ; az -on át -ra merőleges húr végpontjai és . ‐ Minden lépés egyértelmű, ezért ha egyáltalán van, úgy megoldás van. szerkeszthetőségének feltétele, hogy , , különbözők legyenek és ne essenek egy egyenesbe; ilyenkor mindig kapunk -t (lehet is); , akkor és csak akkor jönnek létre, ha a -n belül van, ehhez szükséges és elegendő, hogy válassza szét és -t, vagyis már és -et is. Elfajult háromszög adódik, ha , azaz ; ekkor , tehát átmérője -nak. ‐ Megeshet, hogy -ben az -ból kiinduló külső szögfelező metszi -t, ‐ hiszen helyett az átmérőnek végpontját véve ugyanezen , , pontokat nyerjük. Ilyenkor az ponton megy át. -en valóban a belső szögfelező megy át, ha a -nek ugyanazon partján fekszik, mint , vagyis az -val ellenkező parton. Így az íven van, ‐ ahol az -nek tükörképe -ra, ‐ ennélfogva az íven, ahol az -nek tükörképe az -ra merőleges átmérőre. Ámde így átmérő; ennélfogva az szög szárai között félkörnél nagyobb íve fekszik -nak, ez a szög tompa szög. Ez a követelés alakban egyetlen feltétele a megoldhatóságnak, mert létezését is biztosítja, valamint azt is, hogy belső pont legyen. Ha , és közül bármelyik kettő egybeesik, akkor ugyanez áll , és közül a megfelelő kettőre. Ebből mindig az következik, hogy egyenlő szárú háromszög, így ezen egyenesek, ill. pontok harmadika is egybeesik az első kettővel, ennélfogva a feladat határozatlan.
Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi I. Gimn. IV. o. t.) |
|
|