Feladat: 926. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bajnóczky I. ,  Bollobás B. ,  Buchberger J. ,  Bürger N. ,  Czékus L. ,  Fazekas F. (III. o.) ,  Fülöp J. ,  Gaál S. ,  Gergely Cs. ,  Gerlai M. ,  Hadik Z. ,  Hegedüs István ,  Horváth Árpád ,  Horváth Sándor ,  Jahn A. ,  Mezey F. ,  Muszély Gy. ,  Náray Miklós ,  Németh Judit ,  Réti A. ,  Szabó István ,  Szász D. ,  Tatai P. ,  Tusnády G. ,  Valkó J. ,  Várady G. 
Füzet: 1959/május, 133 - 134. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlyvonal, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 926. matematika feladat

Szerkesszük meg a háromszöget, ha ismerjük azt a három pontot, ahol az egy csúcsából kiinduló magasság, szögfelező ill. súlyvonal a körülírt kört másodszor metszi.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képzeljük a feladatot megoldottnak, és legyen az ABC háromszög A csúcsából húzott m magasság, f1 szögfelező, ill. s súlyvonal második metszéspontja az O középpontú k körülírt körrel rendre M, F, S. Legyen továbbá a BC oldalfelezőpontja (az AS szakaszon) A0.

 
 

Ismeretes, hogy f1, és így F is felezi k-nak az A-t nem tartalmazó BC ívét, így FO=n felező merőlegese BC=a-nak, ezért egyrészt átmegy A0-on, másrészt párhuzamos AM=m-mel.
Ezek alapján a szerkesztés szakaszai: M, F, S meghatározzák O-t és k-t; az FO-val M-en át húzott m párhuzamos k-t másodszor A-ban metszi; AS és FO metszéspontja A0; az A0-on át FO-ra merőleges húr végpontjai B és C. ‐ Minden lépés egyértelmű, ezért ha egyáltalán van, úgy 1 megoldás van.
k szerkeszthetőségének feltétele, hogy M, F, S különbözők legyenek és ne essenek egy egyenesbe; ilyenkor mindig kapunk A-t (lehet AM is); B, C akkor és csak akkor jönnek létre, ha A0 a k-n belül van, ehhez szükséges és elegendő, hogy FO válassza szét S és A-t, vagyis már S és M-et is.
Elfajult háromszög adódik, ha BCAS, azaz ASOF; ekkor ASAM, tehát SM átmérője k-nak. ‐ Megeshet, hogy F-ben az A-ból kiinduló f2 külső szögfelező metszi k-t, ‐ hiszen F helyett az FF* átmérőnek F* végpontját véve ugyanezen A, B, C pontokat nyerjük. Ilyenkor f1 az F* ponton megy át.
F-en valóban a belső szögfelező megy át, ha F a BC-nek ugyanazon partján fekszik, mint S, vagyis az A-val ellenkező parton. Így A az F*S1 íven van, ‐ ahol S1 az S-nek tükörképe FO-ra, ‐ ennélfogva M az FS2 íven, ahol S2 az S1-nek tükörképe az FO-ra merőleges átmérőre. Ámde így SS2 átmérő; ennélfogva az SFM szög szárai között félkörnél nagyobb íve fekszik k-nak, ez a szög tompa szög.
Ez a követelés 90<SFM<180 alakban egyetlen feltétele a megoldhatóságnak, mert k létezését is biztosítja, valamint azt is, hogy A0 belső pont legyen.
Ha M, F és S közül bármelyik kettő egybeesik, akkor ugyanez áll m, f1 és s közül a megfelelő kettőre. Ebből mindig az következik, hogy ABC egyenlő szárú háromszög, így ezen egyenesek, ill. pontok harmadika is egybeesik az első kettővel, ennélfogva a feladat határozatlan.
 

Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi I. Gimn. IV. o. t.)