Feladat: 910. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató P. ,  Bollobás B. ,  Bondy T. ,  Galambos J. ,  Győry K. ,  Halász Gábor ,  Kisvölgyi J. ,  Kolonits F. ,  Makay A. ,  Máté L. ,  Megyesi L. ,  Meskó A. ,  Montvay I. ,  Muszély Gy. ,  Náray Miklós (Bp.) ,  Pődör B. ,  S. Nagy Erzsébet ,  Sárközy A. ,  Simon L. ,  Simonfai L. ,  Soós S. ,  Szász Domokos ,  Tatai P. ,  Trón T. ,  Tusnády G. 
Füzet: 1959/február, 58 - 59. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt gömb, Súlypont, Magasságpont, Szabályos tetraéder, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/május: 910. matematika feladat

Bizonyítandó, hogy az ortocentrikus tetraéder első Feuerbach-gömbje akkor és csak akkor egyezik meg a tetraéder beírt gömbjével, ha a tetraéder szabályos.
 

(Lásd a feladatkitűző cikkét lapunk XVI. (1958) 1. és 2. számában.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(A feladatot illetően lásd a kitűző cikkét KML. XVI. köt. 1. és 2. számában, 1958. jan.‐febr.)

 

I. megoldás: A tetraéder f első Feuerbach-gömbjét a négy lapsúlyponton átmenő gömbként értelmeztük, és láttuk, hogy ez a gömb ortocentrikus tetraéderben mind a négy lap magasságpontján is átmegy. Ha most feltesszük, hogy tetraéderünk ortocentrikus és benne f megegyezik a g beírt gömbbel, akkor f-nek minden lappal egyetlen közös pontja van, az érintési pont, ennélfogva mind a négy lapon az Si súlypont egybeesik az Mi magasságponttal, ahol i=1, 2, 3, 4 a lapok sorszáma. Ebből következik, hogy mind a négy lap szabályos háromszög, ugyanis a magasságvonalak mindegyiken egyben súlyvonalak is, így a megfelelő oldalt merőlegesen felezik, ennélfogva mindegyik lapháromszög bármelyik oldalára mint alapra nézve egyenlő szárú. A lapok szabályosságából pedig következik a tetraéder szabályossága. Eszerint a tetraéder szabályossága szükséges feltétele az első Feuerbach-gömb és a beírt gömb megegyezésének.
Megfordítva, a szabályosság elegendő is f és g megegyezéséhez. Ugyanis a szabályosság folytán a magasságvonalak egyenlők és egy ponton mennek át, mert MiSi folytán súlyvonalak is, és M metszéspontjuk, a szabályos tetraéder középpontja egyenlő távol van az oldallapoktól. Így f, mint az Mi pontok által meghatározott gömb, egyben belső érintő gömb is.
Ezzel befejeztük annak bizonyítását, hogy a tetraéder szabályossága szükséges és elegendő feltétele annak, hogy az első Feuerbach-gömb megegyezzék a beírt gömbbel.
 

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi F. g. III. o. t.)
 

II. megoldás: A feladatban kimondott feltétel szükségessége így is belátható: f-et az Mi magasságtalppontokon átmenő gömbként értelmezve f és g azonossága folytán Mi egyben érintési pontja g-nek az i-edik lapon, így a négy Mi-ben a megfelelő lapra emelt merőlegesek egyrészt K-ban, másrészt az ortocentrikusság folytán M-ben metszik egymást, tehát MKF. Ebből következik, hogy a körülírt gömb O középpontja is azonos velük, mert OM=3FM, továbbá, hogy O-nak bármelyik lapon való Oi merőleges vetülete, az illető lapháromszög körülírt körének középpontja, azonos M vetületével, Mi-vel; ekkor pedig mindnégy lapháromszög szabályos, és velük a tetraéder is.
 

Szász Domokos (Bp. V., Eötvös J. g. III. o. t.)