Kezdőlap


Feladat:	775. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beliczky Tibor , Meskó Attila
Füzet:	1957/február, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 775. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen az ismeretlen egész szám $x$ , a két négyzetszám $a^{2}$ , illetve $b^{2}$ . Ekkor a feladat szövege szerint:

\begin{matrix} x + 100 = a^{2}, & (1) \\ x + 164 = b^{2} . & (2) \end{matrix}

(2)-ből (1)-et kivonva

\begin{matrix} 64 = b^{2} - a^{2} = (b + a) (b - a) . \end{matrix}

(3)

(b + a)

és

(b - a)

tényezők közül mindkettő nem lehet páratlan, mert szorzatuk (64) páros; ha egyik páratlan, és a másik páros, akkor

a

és

b

nem egész számok. Tehát szükségképen mindkettő páros

\begin{matrix} (b + a) (b - a) = {\begin{matrix} 32 \cdot 2 \\ 16 \cdot 4 \\ 8 \cdot 8 \end{matrix} \end{matrix}

Az első esetben

\begin{matrix} a = 15 b = 17 és így x = 15^{2} - 100 = 17^{2} - 164 = 125, \end{matrix}

a második esetben

\begin{matrix} a = 6 b = 10, és így x = 6^{2} - 100 = 10^{2} - 164 = - 64, \end{matrix}

a harmadik esetben

\begin{matrix} a = 0, b = 8 és így x = 0^{2} - 100 = 8^{2} - 164 = - 100. \end{matrix}

Tehát ‐ amennyiben a nullát is négyzetszámnak tekintjük ‐ feladatunknak három megoldása van.

Beliczky Tibor (Celldömölk, Gábor Áron g. IV. o. t.)

II. megoldás: (3) így is írható:

\begin{matrix} b^{2} = a^{2} + 8^{2} . \end{matrix}

Ismeretes, hogy a pitagoraszi számhármasokat, ha a számok relatív primek, a következő módon bonthatjuk fel (lásd Rademacher‐Toeplitz: Számokról és alakzatokról, Tankönyvkiadó 1953, 88. old., vagy a 727. feladat II. megoldása, K. M. L. XIII., kötet 2. szám, 48. old.):

\begin{matrix} b = u^{2} + v^{2}, a = u^{2} - v^{2}, 8 = 2 u v, \end{matrix}

ahol

u

és

v

relatív primek

u \geq v

. Ha a hármas számai nem relatív primek, akkor a fenti előállítás jobboldalain még egy közös

ϱ

tényező állhat, mely tetszés szerinti egész szám lehet.
Ezek szerint

\begin{matrix} ϱ u v = {\begin{matrix} 1 \cdot 4 \cdot 1, \\ 2 \cdot 2 \cdot 1, \\ 4 \cdot 1 \cdot 1, \end{matrix} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a = ϱ (u^{2} - v^{2}) = 1 (4^{2} - 1^{2}) = 15, & b = 1 (4^{2} + 1^{2}) = 17, \\ a = 2 (2^{2} - 1^{2}) = 6, & b = 2 (2^{2} + 1^{2}) = 10, \\ a = 4 (1^{2} - 1^{2}) = 0, & b = 4 (1^{2} + 1^{2}) = 8 \end{matrix}

Meskó Attila (Bp. VII., Madách g. III. o. t.)