Feladat: 770. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bácsy Ernő ,  Baranyai Gy. ,  Bartók K. ,  Borsi L. ,  Böröczky K. ,  Danassy K. ,  Detre Mária ,  Ellmann G. ,  Endrődy T. ,  Fekete L. ,  Frivaldszky S. ,  Galambos J. ,  Gárdonyi Z. ,  Gelencsér L. ,  Gereben Ildikó ,  Gergely E. ,  Győry K. ,  Hoffmann Gy. ,  Károlyi Gy. ,  Kengyel Vilma ,  Király E. ,  Klopfer S. ,  Kominka L. ,  Marczin Gy. ,  Máté L. ,  Meng Jung Ik ,  Meskó A. ,  Németh J. ,  Parlagh Gy. ,  Sárközy A. ,  Schipp F. ,  Selmeci J. ,  Siklósi K. ,  Solt Gy. ,  Stipsicz J. ,  Szántó P. ,  Szász D. ,  Szathmáry Z. ,  Szokoly P. ,  Tatár I. ,  Trón L. ,  Trón T. ,  Újhelyi Sz. ,  Unatényi T. ,  Váczi P. ,  Várallyai L. ,  Wollner R. ,  Zádor M. 
Füzet: 1957/január, 14 - 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merőleges affinitás, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/szeptember: 770. matematika feladat

Adva van a síkban két egymásra merőleges egyenes és két pont. Szerkesszünk ellipszist, amely átmegy az adott pontokon, és melynek tengelyei rajta vannak az adott egyeneseken.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek P és Q az adott pontok, és O az ellipszis középpontja. Mivel az ellipszis tengelyeire nézve tükrös, azért legfeljebb kétszeri tükrözéssel mindig elérhetjük, hogy P és Q azonos síknegyedben legyenek.

 

 

Képzeljük megoldottnak a feladatot (l. az ábrát), és rajzoljuk meg az ellipszissel affinitásban levő főkört, amelynek átmérője az ellipszis nagytengelye. A PQ egyenes metszéspontja a nagytengely hordozójával (vagyis az affinitás tengelyével) legyen T, a PQ húr felezőpontját jelöljük F-fel. A körrendszerben a megfelelő pontok: P', Q', F'. Ez utóbbi szintén felezi a P'Q' húrt, és a P'Q' egyenes ugyancsak a T pontban metszi az affinitás tengelyét. Az F' egyrészt rajta van az F-en átmenő, az affinitás tengelyére merőleges, egyenesen, másrészt az OT fölé, mint átmérő fölé, rajzolt Thales‐körön, mert OF'P'Q'. Ebből következik, hogy az OFT tompaszög. Továbbá az is nyilvánvaló, hogy a PQ ellipszis‐szelő metszi a síknegyedet határoló két félegyenest.
A szerkesztés menete: Meghatározzuk (az azonos síknegyedben fekvő) P és Q pontok összekötő egyenesének metszéspontjait a síknegyedet határoló két félegyenessel, továbbá a PQ húr F felezőpontját. A két metszéspont közül az lesz a nagytengelyen fekvő T pont, amelyikre nézve az OFT>90. (Ha OFPQ, akkor a keresett ellipszis az O köré írt OP=OQ sugarú kör.) Az OT, mint átmérő, fölé rajzolt Thales‐körből metszi ki az F-ből OT-re emelt merőleges egyenes az F' pontot. Az F'T egyenesen vannak rajta a P és Q affin megfelelői: P' és Q' pontok. Az O köré írt OP'=OQ' sugarú kör a főkör. A kistengely végpontjainak megszerkesztése már kézenfekvő.
Mindig van egy és csakis egy megoldás, ha P és Q két különböző pont, és a PQ egyenes metszi a síknegyedet határoló két félegyenest. Ha P és Q egybeesik, akkor végtelen sok megoldás van.
 

Bácsy Ernő (Bp. VIII., Fazekas g. IV. o. t.)