|
Feladat: |
770. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Ernő , Baranyai Gy. , Bartók K. , Borsi L. , Böröczky K. , Danassy K. , Detre Mária , Ellmann G. , Endrődy T. , Fekete L. , Frivaldszky S. , Galambos J. , Gárdonyi Z. , Gelencsér L. , Gereben Ildikó , Gergely E. , Győry K. , Hoffmann Gy. , Károlyi Gy. , Kengyel Vilma , Király E. , Klopfer S. , Kominka L. , Marczin Gy. , Máté L. , Meng Jung Ik , Meskó A. , Németh J. , Parlagh Gy. , Sárközy A. , Schipp F. , Selmeci J. , Siklósi K. , Solt Gy. , Stipsicz J. , Szántó P. , Szász D. , Szathmáry Z. , Szokoly P. , Tatár I. , Trón L. , Trón T. , Újhelyi Sz. , Unatényi T. , Váczi P. , Várallyai L. , Wollner R. , Zádor M. |
Füzet: |
1957/január,
14 - 15. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Merőleges affinitás, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1956/szeptember: 770. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek és az adott pontok, és az ellipszis középpontja. Mivel az ellipszis tengelyeire nézve tükrös, azért legfeljebb kétszeri tükrözéssel mindig elérhetjük, hogy és azonos síknegyedben legyenek.
Képzeljük megoldottnak a feladatot (l. az ábrát), és rajzoljuk meg az ellipszissel affinitásban levő főkört, amelynek átmérője az ellipszis nagytengelye. A egyenes metszéspontja a nagytengely hordozójával (vagyis az affinitás tengelyével) legyen , a húr felezőpontját jelöljük -fel. A körrendszerben a megfelelő pontok: , , . Ez utóbbi szintén felezi a húrt, és a egyenes ugyancsak a pontban metszi az affinitás tengelyét. Az egyrészt rajta van az -en átmenő, az affinitás tengelyére merőleges, egyenesen, másrészt az fölé, mint átmérő fölé, rajzolt Thales‐körön, mert . Ebből következik, hogy az tompaszög. Továbbá az is nyilvánvaló, hogy a ellipszis‐szelő metszi a síknegyedet határoló két félegyenest. A szerkesztés menete: Meghatározzuk (az azonos síknegyedben fekvő) és pontok összekötő egyenesének metszéspontjait a síknegyedet határoló két félegyenessel, továbbá a húr felezőpontját. A két metszéspont közül az lesz a nagytengelyen fekvő pont, amelyikre nézve az . (Ha , akkor a keresett ellipszis az köré írt sugarú kör.) Az , mint átmérő, fölé rajzolt Thales‐körből metszi ki az -ből -re emelt merőleges egyenes az pontot. Az egyenesen vannak rajta a és affin megfelelői: és pontok. Az köré írt sugarú kör a főkör. A kistengely végpontjainak megszerkesztése már kézenfekvő. Mindig van egy és csakis egy megoldás, ha és két különböző pont, és a egyenes metszi a síknegyedet határoló két félegyenest. Ha és egybeesik, akkor végtelen sok megoldás van.
Bácsy Ernő (Bp. VIII., Fazekas g. IV. o. t.) |
|
|