Kezdőlap


Feladat:	768. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Klopfer Sándor , Kuna János , Pogány Eörs
Füzet:	1957/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Eltolás, Egyenesek egyenlete, Trapézok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 768. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a trapéz csúcspontjait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, az oldalakat $a$ , $b$ , $c$ , $d$ -vel, az $e$ és $f$ átlók metszéspontját $M$ -mel (1. ábra).

1. ábra

a) Igazoljuk, hogyha

e ⊥ f

, akkor

d^{2} = a c

.
Az

A

-nál és

B

-nél egy ívvel jelzett szögek egyenlők, mert merőleges szárú szögek, és így az

A D C

és

B A D

derékszögű háromszögek hasonlók. A megfelelő oldalakra ezért:

\begin{matrix} d : a = c : d, amiből d^{2} = a c . \end{matrix}

b) Igazoljuk a megfordítást is, vagyis ha

d^{2} = a c

, akkor

e ⊥ f

.
Ha

d^{2} = a c

, akkor

\begin{matrix} d : a = c : d . \end{matrix}

A két derékszögű háromszög két oldalpárjának aránya egyezik, tehát a két derékszögű háromszög hasonló. De akkor az

A

-nál és

B

-nél az egy ívvel jelölt szögek egyenlők, a

D

-nél a két ívvel jelölt szög az

A

-nál levő egy íves szögét

90^{\circ}

-ra egészíti ki, tehát az

A M D

háromszögben a harmadik szög

90^{\circ}

, vagyis

e ⊥ f

Pogány Eörs (Bp. V., Eötvös J. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Helyezzük a trapézt a koordináta‐rendszerbe a 2. ábrán látható módon. A betűzést a 2. ábra mutatja.

2. ábra

a) Az

e

átlóegyenes iránytényezője

m_{1} = \frac{d}{c}

,
az

f

átlóegyenes iránytényezője

m_{2} = - \frac{d}{a}

.
Ha

e ⊥ f

, akkor

m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}

, vagyis

\begin{matrix} \frac{d}{c} = \frac{a}{d}, ahonnan d^{2} = a c . \end{matrix}

b) Ha fennáll, hogy

d^{2} = a c

, akkor mindkét oldalt

c d (\neq 0)

-vel osztva

\begin{matrix} \frac{d}{a} = \frac{a}{d} . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d}{c} = m_{1}, \frac{a}{d} = - \frac{1}{- \frac{d}{a}} = - \frac{1}{m_{2}}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}, \end{matrix}

ami azt jelenti, hogy

e ⊥ f

Klopfer Sándor (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)

III. megoldás:
a) Toljuk el az

e

átlót önmagával párhuzamosan úgy, hogy a

C A

szakasz

D A_{1}

-be jusson (1. ábra). Legyen

D A_{1} = e_{1}

A_{1} A = c_{1}

, akkor

e_{1} = e

c_{1} = c

.
Ha

e ⊥ f

, akkor az

A_{1} D B

háromszög derékszögű, és magasságára felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} d^{2} = c_{1} a, vagyis mivel c_{1} = c d^{2} = a c . \end{matrix}

b) Legyen most

d^{2} = a c

, és emeljünk

D

-ben

f

-re merőleges

e_{1}

-et, amely az

a

oldal meghosszabbítását

A_{1}

-ben metszi.

A A_{1} = c_{1}

. Ezzel az

A_{1} D B

derékszögű háromszöget állítottuk elő. Ebben

d^{2} = c_{1} a

. De a feltétel szerint

d^{2} = c a

úgy, hogy

\begin{matrix} c_{1} = c, \end{matrix}

vagyis

e_{1}

e

párhuzamos eltolásával is származtatható. Mivel pedig

e_{1} ⊥ f

, azért az

e_{1}

-gyel párhuzamos

e

is merőleges

f

-re.

Kuna János (Kunszentmárton, Ált. g. IV. o. t.)