Kezdőlap


Feladat:	C.356	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1994/november, 433 - 434. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Gömb és részei, Körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: C.356

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szeleteléskor keletkezett hagyma felszíne kétszer annyival növekszik, amennyi a metszett körlapok területének összege. A körök sugarait a Pitagorasz-tétel segítségével számolhatjuk ki. A legnagyobb körmetszet (főkör) területe $20^{2} π$ , ilyen körünk csak egy van, a területet kétszer kell számolnunk.
A következő kör sugara $r_{1} = \sqrt[]{20^{2} - 2^{2}}$ , területe $396 π$ . A szimmetria miatt minden ilyen metszetkörből 2 db van, azaz minden területet négyszer kell számolni. A szeletek összes felszíne tehát

\begin{matrix} 2 \cdot 20^{2} π + 4 [(20^{2} - 2^{2}) π + (20^{2} - 4^{2}) π + ... + (20^{2} - 18^{2}) π] = \\ = π (2 \cdot 400 + 4 (396 + 384 + 364 + 336 + 300 + 256 + 204 + 144 + 76)) = 10640 π . \end{matrix}

Ehhez hozzá kell adni még a gömb felszínét, ami

1600 π

; azaz a keletkezett új felszín és a gömb felszínének aránya

\frac{12240 π}{1600 π} = 7,65