Feladat: C.356 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1994/november, 433 - 434. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Gömb és részei, Körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/március: C.356

Egy 4 cm átmérőjű, gömb alakú hagymát 2 mm vastag szeletekre vágtunk. Hányszor nagyobb a hagyma felszínénél a keletkezett 20 szelet együttes felülete?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szeleteléskor keletkezett hagyma felszíne kétszer annyival növekszik, amennyi a metszett körlapok területének összege. A körök sugarait a Pitagorasz-tétel segítségével számolhatjuk ki. A legnagyobb körmetszet (főkör) területe 202π, ilyen körünk csak egy van, a területet kétszer kell számolnunk.
A következő kör sugara r1=202-22, területe 396π. A szimmetria miatt minden ilyen metszetkörből 2 db van, azaz minden területet négyszer kell számolni. A szeletek összes felszíne tehát

2202π+4[(202-22)π+(202-42)π+...+(202-182)π]==π(2400+4(396+384+364+336+300+256+204+144+76))=10640π.

Ehhez hozzá kell adni még a gömb felszínét, ami 1600π; azaz a keletkezett új felszín és a gömb felszínének aránya 12240π1600π=7,65.