Kezdőlap


Feladat:	C.330	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/február, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Paraméteres egyenlőtlenség-rendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: C.330

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az (1) egyenlőtlenséget 2-vel szorozva a

\begin{matrix} 2 < 2 x < a \end{matrix}

(1')

egyenlőtlenséghez jutunk, míg (2) szerint

a < 2 x < a^{2}

2 x

pontosan akkor tesz eleget mindkét egyenlőtlenségnek, ha nagyobb mindkét intervallum alsó végpontjának értékénél, de kisebb mindkét felső értéknél. Hogy ilyen

x

létezzen, ahhoz a következő négy egyenlőtlenségnek kell teljesülnie:

\begin{matrix} 2 < 2 a, 2 < a^{2}, a < 2 a, a < a^{2} . \end{matrix}

A feltétel szerint

a > 1

, amiből következik, hogy az első, harmadik és negyedik egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül.
A második egyenlőtlenség már nem teljesül mindig; ha pl.

a = 1,4

, akkor

a^{2} = 1,96 ≯ 2.

Az a) kérdésre tehát a válasz: nincs.
b) Most olyan

x

értékeket keresünk, amelyekre

\begin{matrix} a < 2 x < a^{2} igaz, de \end{matrix}

\begin{matrix} 2 < 2 x < 2 a nem igaz. \end{matrix}

Ehhez az szükséges, hogy az

(a, a^{2})

intervallumnak legyen pontja a

(2,2 a)

intervallumon kívül. Ez vagy úgy lehetséges, hogy

a < 2

, vagy úgy, hogy

2 a < a^{2}

─ ez utóbbi

2 < a

alakba írható. Mivel

a \neq 2

a feltétel szerint, az előző két egyenlőtlenség közül valamelyik biztosan teljesül. Tehát mindig van olyan

x

, amelyik (2)-nek eleget tesz, de (1)-nek nem.
Megjegyzések. 1. A beküldők egy részének nem volt világos, hogy a megoldásokat az

a

paraméter függvényében keressük.
2. A b) résznél pontosan azt kellett belátni, hogy az

a

paraméter tetszőleges megengedett értéke mellett mindig csak az (1) egyenlőtlenséget kielégítő

x

-eket kapunk.