Kezdőlap


Feladat:	C.315	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Mértani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: C.315

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy az összeg tagjai mértani sorozatot alkotnak. Az összegzési képlet szerint

\begin{matrix} sin^{2} x + sin^{4} x + sin^{6} x + ... + sin^{2 n} x = sin^{2} x \cdot \frac{{(sin^{2} x)}^{n} - 1}{sin^{2} x - 1} = \frac{1 - {(sin^{2} x)}^{n}}{1 - sin^{2} x} \cdot sin^{2} x, \end{matrix}

azaz

(1)

így is írható:

\begin{matrix} 1 - \frac{{(sin^{2} x)}^{n}}{cos^{2} x} \cdot sin^{2} x \leq \frac{sin^{2} x}{cos^{2} x} . \end{matrix}

sin x = 0

, akkor nyilván egyenlőség áll fenn. Ha

sin x \neq 0

, akkor egyszerűsíthetünk

\frac{sin^{2} x}{cos^{2} x}

-szel (mivel

cos^{2} x \neq 0

, hiszen csak olyan

x

-ekre vizsgáljuk az összefüggést, amelyekre a

tg x

értelmezve van):

\begin{matrix} 1 - {(sin^{2} x)}^{n} \leq 1. \end{matrix}

Ez pedig mindig igaz, hiszen a négyzetfüggvény (és annak minden

n

-edik hatványa) nemnegatív.