Kezdőlap


Feladat:	C.293	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1993/március, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: C.293

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $D$ a tárcsa átmérőjét, $δ$ a szalag vastagságát. Egy fordulat során a tekercs átmérője $2 δ$ -val növekszik, így a $k$ -adik fordulat során feltekeredő szalagrész $h_{k}$ hosszára:

\begin{matrix} (D + 2 (k - 1) δ) π < h_{k} < (D + 2 k δ) π . \end{matrix}

n

az a legkisebb fordulatszám, amely a szalag feltekeréséhez szükséges, akkor

\begin{matrix} h_{1} + h_{2} + ... + h_{n} > 90000 mm \end{matrix}

\begin{matrix} > h_{1} + h_{2} + ... + h_{n - 1}; \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} (D + 2 k δ) π > h_{1} + ... + h_{n} > 90000 > h_{1} + ... + h_{n - 1} > \sum_{k = 1}^{n - 1} (D + 2 (k - 1) δ) π . \end{matrix}

Abecslésekbenszereplőkétszámtanisorösszegekiszámítva:

\begin{matrix} \frac{(2 D + (2 n + 2) δ) π n}{2} > 90000 > \frac{(2 D + (2 n - 2) δ) π (n - 1)}{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (D + (n + 1) δ) n > \frac{90000}{π} > (D + (n - 1) δ) (n - 1) . \end{matrix}

π

, Dés

δ

értékeitbeírva,akövetkezőkétegyenlőtlenségetkapjukn-re:

\begin{matrix} 0,018 n^{2} + 22,018 n - 28648,643 > 0 és 0,018 n^{2} + 21,964 n - 28670,625 < 0. \end{matrix}

Ekétegyenlőtlenségnekapozitívszámokközülpontosanazokazn-ektesznekeleget,melyekre

\begin{matrix} 790,40867 < n < 791,69061. \end{matrix}

Tehátaszalag791fordulattaltekeredikfelatárcsára.