Feladat: C.293 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1993/március, 123 - 124. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: C.293

Hány fordulattal tekeredik fel egy magnókazetta 22 mm átmérőjű üres tárcsájára a 0,018 mm vastagságú, 90 m hosszú szalag?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje D a tárcsa átmérőjét, δ a szalag vastagságát. Egy fordulat során a tekercs átmérője 2δ-val növekszik, így a k-adik fordulat során feltekeredő szalagrész hk hosszára:

(D+2(k-1)δ)π<hk<(D+2kδ)π.
Ha n az a legkisebb fordulatszám, amely a szalag feltekeréséhez szükséges, akkor
h1+h2+...+hn>90000mm
>h1+h2+...+hn-1;
ezért
k=1n(D+2kδ)π>h1+...+hn>90000>h1+...+hn-1>k=1n-1(D+2(k-1)δ)π.
Abecslésekbenszereplőkétszámtanisorösszegekiszámítva:
(2D+(2n+2)δ)πn2>90000>(2D+(2n-2)δ)π(n-1)2,
azaz
(D+(n+1)δ)n>90000π>(D+(n-1)δ)(n-1).
Aπ, Désδértékeitbeírva,akövetkezőkétegyenlőtlenségetkapjukn-re:
0,018n2+22,018n-28648,643>0és0,018n2+21,964n-28670,625<0.
Ekétegyenlőtlenségnekapozitívszámokközülpontosanazokazn-ektesznekeleget,melyekre
790,40867<n<791,69061.
Tehátaszalag791fordulattaltekeredikfelatárcsára.