Feladat: C.262 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bognár László ,  Maróti Gábor ,  Takács Kornél 
Füzet: 1992/április, 169 - 170. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Számsorok, Teljes indukció módszere, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/október: C.262

Igaz-e, hogy
12+222+323+...+30230<2?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Igaz-e, hogy

12+222+323+...+30230<2?(1)

Megoldás. Jelöljük (1) bal oldalán az első n tag összegét Sn-nel, és írjuk fel ennek néhány kezdő értékét a következő alakban:

S1=12=2-1+22,S2=12+222=2-2+222,S3=12+222+323=2-3+223,

Azt sejtjük, hogy ez általában is igaz, vagyis Sn=2-n+22n. Ezt fogjuk a teljes indukció módszerével igazolni.
n=1-re állításunk igaz. Be kell látni, hogy a tulajdonság öröklődik, vagyis abból, hogy k-ra igaz, következik (k+1)-re is.
Sk+1=Sk+k+12k+1=2-k+22k+k+12k+1=2-2k+4-k-12k+1=2-(k+1)+22k+1.

Ezzel beláttuk, hogy állításunk minden n természetes számra érvényes; speciálisan S30=2-32231, s ez valóban kisebb 2-nél.
 

Takács Kornél (Győr, Pattantyús Á. G. Ip. Szki. II. o. t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzések. 1. A feladatnak többféle megoldása lehetséges. A megoldók egy része az összeget 30 mértani sorozatra bontotta fel, s ezeket összegezte.
2. Volt, aki a törteket 2-es számrendszerbeli tizedes törtekre írta át, s így végezte az összegzést.
3. Könnyen igazolható az egyenlőtlenségnek egy általánosabb alakja is. Legyenek n és k természetes számok; ekkor
k2+k+122+...+k+n2n+1<k+1.

Szorozzuk végig az egyenlőtlenséget 2-vel, és a bal oldalon lévő k egészet vonjuk ki; ekkor a jobb oldalon 2(k+1)-k=(k+2)-t kapjuk. Majd újra 2-vel végigszorozva és (k+1)-et kivonva, a jobb oldal k+3 lesz. Az eljárást folytatva, az (n+1)-edik lépésben a 0<k+n+2 egyenlőtlenséghez jutunk, és ez nyilvánvalóan igaz. Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, eredeti egyenlőtlenségünk is igaz.
 

 Bognár László (Budapest, Móricz Zs. Gimn. III. o. t.) dolgozata alapján