Kezdőlap


Feladat:	C.250	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maróti Gábor
Füzet:	1992/február, 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: C.250

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalát teljes négyzetek összegévé alakíthatjuk a következőképpen:

\begin{matrix} {(x - 2 z)}^{2} + {(2 y - z)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0. \end{matrix}

Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív szám, ezért a bal oldali összeg csak akkor lehet nulla, ha minden tagja nulla. Vagyis

\begin{matrix} {(y - 1)}^{2} = 0, {(2 y - z)}^{2} = 0, {(x - 2 z)}^{2} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = 1, z = 2 y, x = 2 z, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} y = 1, z = 2, x = 4. \end{matrix}

Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, a kapott számok válóban az egyenlet gyökei.

Maróti Gábor (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., I. o. t.)