Feladat: C.250 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Maróti Gábor 
Füzet: 1992/február, 73. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/április: C.250

Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok körében:
x2+5y2+5z2-4xz-2y-4yz+1=0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalát teljes négyzetek összegévé alakíthatjuk a következőképpen:

(x-2z)2+(2y-z)2+(y-1)2=0.
Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív szám, ezért a bal oldali összeg csak akkor lehet nulla, ha minden tagja nulla. Vagyis
(y-1)2=0,(2y-z)2=0,(x-2z)2=0,
ahonnan
y=1,z=2y,x=2z,
azaz
y=1,z=2,x=4.

Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, a kapott számok válóban az egyenlet gyökei.
 

Maróti Gábor (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., I. o. t.)