Feladat: C.154 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1989/április, 172. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Hatványösszeg, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/november: C.154

Milyen n értékre lesz
211+28+2n teljes négyzet?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kétféle megoldás született. Az egyikben a2+2ab+b2 formában keresték a megoldást (alkalmas a,b választás mellett). Itt sokan kihagyták azt a megjegyzést, hogy ha egy kifejezés teljes négyzet, akkor mindig (a+b)2 alakba írható.
Ha tehát 28+211+2n pontosan (a+b)2 alakú, akkor sem a2, sem b2 nem lehet 211, hiszen az páratlan kitevőjű. Tehát csak az lehetséges, hogy 2ab=211, amiből n=12 adódik.
A másik fajta megoldás a következő ötleten alapult :
Könnyen ellenőrizhető, hogy n<8 esetén a kifejezés nem lehet teljes négyzet. Emeljünk ki 28-t. Ekkor a 28(9+2n-8) csak úgy lehet N2 (teljes négyzet), ha N2-9=2n-8, ahonnan (N+3)(N-3)=2n-8-at kapjuk. Ez nem teljesülhet, ha n-8 túl nagy. Mind N-3, mind N+3 olyan kettőhatvány kell hogy legyen, amelynek különbsége 6, ahonnan kis számolással kapjuk, hogy n=12.