Feladat: C.64 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/október, 315. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logaritmusos egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/március: C.64

Tudjuk, hogy adott t>1 valós számra
2logbt=1logat+1logct.

Bizonyítsuk be, hogy 2ba+c.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat egy változat a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségre. Mivel a,b és c pozitív, 1-től különböző számok és t>1, ezért a feltételben mindenütt t-alapú logaritmusra térhetünk át:

2logtb=logta+logtc,
ahonnan
b=ac.
Mivel a jobb oldal nem nagyobb a és c számtani közepénél, innen a bizonyítandó állítást kapjuk.