Kezdőlap


Feladat:	A.682	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Ilya Bogdanov , Luca Ghidelli , Marcello Mamino
Füzet:	2016/november, 482. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nehéz feladat, Szabályos sokszögek geometriája, Körülírt kör, Koordináta-geometria

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1} A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} E_{2} F_{2}$ olyan húrtizenkétszög, amelyben az $A_{1} A_{2}$ , $B_{1} B_{2}$ és $C_{1} C_{2}$ átlók egy ponton mennek át, az $A_{1} A_{2}$ , $E_{1} E_{2}$ és $F_{1} F_{2}$ átlók egy ponton mennek át, a $C_{1} C_{2}$ , $D_{1} D_{2}$ és $E_{1} E_{2}$ átlók egy ponton mennek át, végül a $B_{1} B_{2}$ , $D_{1} D_{2}$ és $F_{1} F_{2}$ átlók is egy ponton mennek át. Legyen $k_{A}$ , $k_{C}$ és $k_{E}$ három körív a tizenkétszög köré írt kör belsejében úgy, hogy $k_{A}$ az $A_{1}$ és $A_{2}$ pontokat, $k_{C}$ a $C_{1}$ és $C_{2}$ pontokat, $k_{E}$ pedig az $E_{1}$ és $E_{2}$ pontokat köti össze. A három körív metszéspontjai legyenek $B = k_{A} \cap k_{C}$ , $D = k_{C} \cap k_{E}$ és $F = k_{A} \cap k_{E}$ . Bizonyítsuk be, hogy a $B_{1} B B_{2}$ , $D_{1} D D_{2}$ és $F_{1} F F_{2}$ körívek egy ponton mennek át. (Ezek a körívek egyenes szakasszá fajulnak, ha a megadott pontjaik egy egyenesre esnek.)