Kezdőlap


Feladat:	A.566	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2012/szeptember, 356. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nehéz feladat, Egyenlőtlenségek, Algebrai átalakítások, Számtani-mértani egyenlőtlenségek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$(a)$ Bizonyítsuk be, hogy ha $n \geq 2$ , és az $a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}$ pozitív valós számok szorzata $1$ , akkor

\begin{matrix} {(1 + a_{2})}^{2} {(1 + a_{3})}^{3} ... {(1 + a_{n})}^{n} > \frac{n^{n} {(n - 1)}^{n - 1}}{4^{n - 1}} . \end{matrix}

(b)

Mutassunk példát olyan

n \geq 2

egészre és

a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}

pozitív valós számokra, amelyek szorzata

1

, és

\begin{matrix} {(1 + a_{2})}^{2} {(1 + a_{3})}^{3} ... {(1 + a_{n})}^{n} < 1, 000 001 \cdot \frac{n^{n} {(n - 1)}^{n - 1}}{4^{n - 1}} . \end{matrix}