Feladat:	2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/október, 432 - 436. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Olvadás, fagyás, Földrajzzal kapcsolatos feladatok, Egyéb magfizika
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2013/november: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   3. feladat. A grönlandi jégsapka   Bevezetés. Ez a feladat a grönlandi jégsapkáról, a világ második legnagyobb összefüggő jégtakarójáról szól, ami a 4$\left(a\right)$. ábrán látható. Egyszerűsített modellünkben Grönlandot egy $2L$ szélességű és $5L$ hosszúságú téglalapnak tekintjük, ahol a földfelszín a tengerszinttel azonos magasságban van, és a területét teljes mértékben összenyomhatatlan jég borítja (4$\left(b\right)$. ábra). A jég ${\varrho }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}$ sűrűségét tekintsük állandónak! A jégsapka $H\left(x\right)$ magassága nem függ az $y$ koordinátától, és a magasság nulláról a maximális $H_{\text{m}}$ értékig nő, ahogy a parttól, $\left(x=\pm L\right)$ a téglalap észak-déli felezővonaláig (az $y$ tengelyig, a ,,jégválasztóig'') haladunk. Ez a magasságprofil a 4$\left(c\right)$. ábrán látható.   4. ábra. $\left(a\right)$ Grönland térképe, amely a jégsapka kiterjedését és a jégmentes parti területeket mutatja. $\left(b\right)$ A grönlandi jégsapka durva modellje; egy jéggel borított, $2L$ és $5L$ oldalú, az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ síkban fekvő téglalap. A jégválasztó vonal, azaz a jégsapka maximális, $H_{\text{m}}$ magasságú gerince az $y$ tengely felett fekszik. $\left(c\right)$ A jégsapka $\left(x\mathrm{,}z\right)$ síkú (függőleges) síkmetszete, melyen a jégtakaró $H\left(x\right)$ magasságprofilja látható. A $H\left(x\right)$ magasság független az $y$ koordinátától a teljes $0<y<5L$ tartományban, és hirtelen nulla értékre esik $y=0$-ban és $y=5L$-ben. Az $y$ tengely jelöli a jégválasztó vonal helyét. Az érthetőség kedvéért az ábra függőleges irányú léptéke nagyobb a vízszintes léptéknél. A jég sűrűsége konstans, ${\varrho }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}$   Két hasznos összefüggés. Ebben a részben felhasználhatod a következő integrált: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[]{1-x}\text{d}x=\frac{2}{3}\mathrm{,}}\end{array}$ és az ${\left(1+x\right)}^a\approx 1+ax$ közelítést, amely $|ax|\ll 1$ esetén érvényes. A jégsapka magasságprofilja. Rövid időskálán a jégsapka egy összenyomhatatlan hidrosztatikai rendszer, melyben a $H\left(x\right)$ magasságprofil időben állandó. 3.1. Add meg a jégtakaró belsejében a $p\left(x\mathrm{,}z\right)$ nyomást, mint a földfelszíntől (tengerszinttől) mért $z$ magasság és a jégválasztó vonaltól mért $x$ távolság függvényét! Hanyagold el a légköri nyomást!  (0,3 pont) Most tekints egy rögzített, egyensúlyban levő függőleges jégréteget, amely a kisméretű, vízszintes $\Delta x\Delta y$ alaplap fölött helyezkedik el, $x$ és $x+\Delta x$ között, ahogy ezt a szaggatott vonalak mutatják a 4$\left(c\right)$. ábrán! A $\Delta y$ mérete nem számít. A jégréteg befelé és kifelé eső oldalának magasságkülönbsége miatt e két függőleges oldalon ható eredő erők vízszintes komponensei különböznek. Ezt a $\Delta F$ különbséget a vízszintes alaplapon ható $\Delta F=S_b\Delta x\Delta y$ súrlódási erő kompenzálja, amelyet a földfelszín fejt ki a $\Delta x\Delta y$ területű alapra, ahol $S_b=100$ kPa. 3.2a. Igazold, hogy rögzített $x$ esetén, ha $\Delta x\to 0$, akkor $S_b=kH\text{d}H/\text{d}x$, és add meg $k$-t!  (0,9 pont) 3.2b. Vezesd le a magasságprofilt megadó $H\left(x\right)$ kifejezést a ${\varrho }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}$, $g$, $L$, $S_b$, valamint a jégválasztótól mért $x$ távolság függvényében! Az eredményből látható, hogy a jégsapka $H_{\text{m}}$ legnagyobb magassága a $H_{\text{m}}\propto L^{1/2}$ egyenlet szerint skálázódik az $L$ félszélességgel.  (0,8 pont) 3.2c. Határozd meg azt a $\gamma$ kitevőt, ami szerint a jégsapka teljes $V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}$ térfogata skálázódik a téglalap alakú sziget $A$ területével, $V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}\propto A^{\gamma }$!  (0,5 pont) A jégsapka dinamikája. Hosszabb időskálán a jég egy viszkózus, összenyomhatatlan folyadék, amely a gravitáció hatására a középső résztől a tengerparti rész felé áramlik. Ebben a modellben a $H\left(x\right)$ jégprofil stacionárius alakja dinamikusan valósul meg; a középső területeken hóesés hatására növekvő jégmennyiséget a part mentén bekövetkező hóolvadás kompenzálja. A jégsapka alakjával kapcsolatban továbbra is használjuk a 4$\left(b\right)$. és 4$\left(c\right)$. ábrán szereplő egyszerűsítéseket, és még alkalmazzuk a következő feltevéseket is modellünkben: 1) A jég az $\left(x\mathrm{,}z\right)$ síkban áramlik, és a jégválasztó vonaltól (az $y$ tengelytől) távolodik. 2) Középen a hóesések miatti jégképződés $c$ sebessége (méter/év) állandó. 3) A jég csak a partmenti $x=\pm L$ területeken, olvadás útján hagyja el a szigetet. 4) A jég áramlási sebességének $v_x=\text{d}x/\text{d}t$ vízszintes ($x$ irányú) komponense a $z$ magasságtól független. 5) A jég áramlási sebességének $v_z=\text{d}z/\text{d}t$ függőleges ($z$ irányú) komponense $x$-től független. Vizsgáld csak azt a $|x|\ll L$ középső tartományt a jégsapka tetején, ahol a jégtakaró vastagsága alig változik, közel állandónak tekinthető, azaz $H\left(x\right)\approx H_{\text{m}}$. 3.3. A tömegmegmaradást használva határozd meg a jég áramlásának $v_x$ vízszintes sebességkomponensét a $c$, $x$ és $H_{\text{m}}$ mennyiségek függvényében!  (0,6 pont) A jég összenyomhatatlanságának feltevéséből, (tehát abból, hogy a jég ${\varrho }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}$ sűrűsége állandó), és a tömegmegmaradásból az alábbi összefüggés következik a jég áramlási sebességének komponenseire: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}{v}_x}{\text{d}x}+\frac{\text{d}{v}_z}{\text{d}z}=0.}\end{array}$ 3.4. Add meg, hogyan függ a jégfolyam sebességének $v_z$ függőleges komponense a $z$ magasságtól!  (0,6 pont) Egy kis jégdarab, amely kezdetben a jégfelszín $\left(x_i\mathrm{,}{H}_{\text{m}}\right)$ pontjában található, az idő múlásával a jégáram részeként egy $z\left(x\right)$ pályán (trajektórián) mozog a függőleges $\left(x\mathrm{,}z\right)$ síkban. 3.5. Vezesd le ennek a pályának a $z\left(x\right)$ egyenletét!  (0,9 pont) Kor- és éghajlat-indikátorok a mozgó jégsapkában. A jégfolyam $v_x\left(x\right)$ és $v_z\left(z\right)$ sebességkomponensei alapján megbecsülhető egy adott $H_{\text{m}}-z$ mélységben található jégdarab $\tau \left(z\right)$ kora. 3.6. Vezesd le a közvetlenül a jégválasztónál $\left(x=0\right)$ az alapkőzettől mért $z$ magasságban található jégdarab $\tau \left(z\right)$ korát!  (1,0 pont) Grönland jégtáblájának mélyére fúrva az egymásra fagyott múltbéli hórétegeken áthatoló jégmagok (hosszú, henger alakú jégtömbök) emelhetők ki. Az ilyen jégmagok analizálásával feltárhatók a múltbeli éghajlatváltozások, melyek egyik legjobb indikátora a ${\delta }^{18}\text{O}$ mennyiség, amit a $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta {}^{18}\text{O}=\frac{R_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">jég</span>}}-R_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ref</span>}}}{R_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ref</span>}}}1000\text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>‰</mo></math>}}\end{array}$ kifejezés definiál, ahol $R=\left[{}^{18}\text{O}\right]/\left[{}^{16}\text{O}\right]$ jelöli az oxigén két stabil izotópjának, az ${}^{18}\text{O}$-nak és az ${}^{16}\text{O}$-nak a relatív gyakoriságát. Az $R_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ref</span>}}$ referenciaérték az Egyenlítő környéki óceáni vizekben található izotóp-összetételen alapszik.   5. ábra. $\left(a\right)$ A hóban mérhető $\delta {}^{18}\text{O}$ érték és az adott évi átlagos felszíni $T$ hőmérséklet megfigyelt kapcsolata. $\left(b\right)$ A $\delta {}^{18}\text{O}$ érték a jég felszínétől mért $H_{\text{m}}-z$ mélység függvényében egy, a jégválasztónál $\left(H_{\text{m}}=3060\text{m}\right)$, a felszíntől az alapkőzetig érő jégmag esetén   A grönlandi megfigyelések szerint a hórétegekben a $\delta {}^{18}\text{O}$ érték jó közelítéssel lineárisan változik a hőmérséklettel (lásd az 5$\left(a\right)$. ábrát). Feltéve, hogy ez az összefüggés mindig igaz volt, egy jégmagból $H_{\text{m}}-z$ mélységben nyert $\delta {}^{18}\text{O}$ érték jó becslést szolgáltathat a Grönland környékén ezelőtt $\tau \left(z\right)$ idővel uralkodó $T$ hőmérséklet értékére. Egy 3060 m hosszú grönlandi jégmagon végzett $\delta {}^{18}\text{O}$ mérések kimutatták, hogy 1492 m mélységben a $\delta {}^{18}\text{O}$ érték hirtelen ugrik (5$\left(b\right)$. ábra), jelezve az utolsó jégkorszak végét. A jégkorszak $120000$ éve kezdődött (ez az időpont 3040 m-es mélységnek felel meg), a jelenlegi jégkorszak-közti időszak pedig $11700$ éve kezdődött (ami 1492 m mélységnek feleltethető meg). Tegyük fel, hogy ez a két időszak különböző jégképződési sebességgel írható le: $c_{\text{jk}}$ (a jégkorszakban) és $c_{\text{ig}}$ (a jégkorszak-közti, ún. interglaciális időszakban). Feltehetjük azt is, hogy $H_{\text{m}}$ értéke állandó volt az utóbbi 120 000 évben. 3.7a. Határozd meg a $c_{\text{jk}}$ és $c_{\text{ig}}$ jégképződési sebességeket!  (0,8 pont) 3.7b. Az 5. ábra adatait felhasználva határozd meg a jégkorszakból a jégkorszak utáni időszakba történő átmenetkor bekövetkezett hőmérsékletváltozást!  (0,2 pont) Tengerszint-emelkedés a grönlandi jégsapka olvadása miatt. A grönlandi jégtakaró teljes elolvadása az óceánok vízszintjének globális emelkedéséhez vezetne. E szintemelkedés durva becsléseként egyszerűen feltehetjük, hogy a Föld óceánjainak teljes felületén, $A_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">óceán</span>}}=3\mathrm{,}61\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2$-en, mindenhol ugyanannyival emelkedik meg a vízszint. 3.8. Számítsd ki a grönlandi jégtakaró teljes elolvadása esetén bekövetkező átlagos vízszintemelkedést, ha annak jelenlegi területe $A_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">G</span>}}=1\mathrm{,}71\cdot {10}^{12}{\text{m}}^2$ és $S_b=100\text{kPa}$!  (0,6 pont) A nagy tömegű grönlandi jégsapka gravitációsan vonzóerőt fejt ki a környező óceánra. Ha a jégtakaró elolvad, ez a lokális dagály megszűnik és Grönland közelében a tengerszint lesüllyed. Ez az effektus részben ellensúlyozza az előbb kiszámolt szintemelkedést. A gravitációs vonzás vízszintre gyakorolt hatása nagyságának megbecsléséhez modellezzük a grönlandi jégtakarót egy földfelszínen elhelyezkedő, a teljes grönlandi jégtakaróval megegyező tömegű pontszerű testtel! Koppenhága a Föld felszíne mentén mérve 3500 km-re fekszik ettől a pontszerű testtől. Feltehető, hogy a Föld a pontszerű test nélkül gömbszimmetrikus és egész felszínét, $A_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Föld</span>}}=5\mathrm{,}10\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2$-t óceán borítja. A Föld forgásából származó minden effektus elhanyagolható. 3.9. A modell keretein belül határozd meg a $h_{\text{CPH}}-h_{\text{OPP}}$ különbséget, azaz a tengerszintek különbségét Koppenhága $\left(h_{\text{CPH}}\right)$ és a Grönlanddal a földátmérő mentén átellenben (azaz a Grönlandtól legtávolabb) lévő földrajzi pont $\left(h_{\text{OPP}}\right)$ között!  (1,8 pont)   Fizikai állandók táblázata