Kezdőlap


Feladat:	2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2011/október, 424 - 425. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Görbületi nyomás, Stokes-törvény, Pontszerű töltés térerőssége
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2011/november: 2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Elektromosan töltött szappanbuborék
Egy gömb alakú szappanbuborék belsejében a levegő sűrűsége $ϱ_{i}$ , a hőmérséklet $T_{i}$ , a buborék sugara $R_{0}$ , amit $ϱ_{a}$ sűrűségű, $P_{a}$ atmoszférikus nyomású és $T_{a}$ hőmérsékletű külső levegő vesz körül. A szappanhártya felületi feszültsége $γ$ , sűrűsége $ϱ_{s}$ , vastagsága pedig $t$ . A szappanhártya tömege és felületi feszültsége nem változik a hőmérséklet változásával. Feltehetjük, hogy $R_{0} ≫ t$ .
Jól ismert, hogy a $d E$ energia, ami a szappanhártya-levegő egy oldali határfelületét $d A$ területtel megnöveli, így adható meg: $d E = γ d A$ , ahol $γ$ a hártya felületi feszültsége.
2.1. Fejezd ki a $\frac{ϱ_{i} T_{i}}{ϱ_{a} T_{a}}$ arányt a következő változókkal: $γ$ , $P_{a}$ és $R_{0}$ .
2.2.
Add meg a $\frac{ϱ_{i} T_{i}}{ϱ_{a} T_{a}} - 1$ kifejezés számszerű értékét a következő adatok felhasználásával: $γ = 0, 0250 {Nm}^{- 1}$ , $R_{0} = 1$ ,00 cm, illetve $P_{a} = 1, 013 \cdot 10^{5} {Nm}^{- 2}$ .
2.3. Kezdetben a buborék belsejében a levegő melegebb, mint kívül. Add meg számszerűen azt a minimális $T_{i}$ belső hőmérsékletet, ami elegendő ahhoz, hogy a buborék lebegjen a nyugvó levegőben! Az előzőekben megadottakkal együtt használd fel a következő adatokat: $T_{a} = 300$ K, $ϱ_{s} = 1000 {kgm}^{- 3}$ , $ϱ_{a} = 1, 30 {kgm}^{- 3}$ , $t = 100$ nm és $g = 9, 80 {ms}^{- 2}$ .
A keletkezése után hamarosan a buborék hőmérsékleti egyensúlyba kerül a környezetével. Természetesen ekkor a buborék a talaj felé esik, ha a levegő nem mozog.
2.4. Add meg paraméteresen a felfelé áramló levegő minimális $u$ sebességét, ami ahhoz kell, hogy megakadályozza a termikus egyensúlyban lévő buborék leesését! Válaszodat add meg $ϱ_{s}$ , $R_{0}$ , $g$ , $t$ és a levegő $η$ viszkozitása segítségével! Feltételezheted, hogy az áramlási sebesség olyan kicsiny, hogy a Stokes-törvény alkalmazható, továbbá elhanyagolhatod a buborék sugarának változását, miközben a hőmérséklet a buborék belsejében az egyensúlyi értékre csökken. A Stokes-törvény így adja meg a közegellenállási fékező erőt: $F = 6 π η R_{0} u$ .
2.5. Számítsd ki az $u$ áramlási sebesség számszerű értékét, ha

\begin{matrix} η = 1, 8 \cdot 10^{- 5} kg \cdot m^{- 1} s^{- 1} . \end{matrix}

Az eddigi számítások azt sugallják, hogy a

γ

felületi feszültség figyelembe vétele csak nagyon kis mértékben befolyásolja az eredmények pontosságát. A további alkérdések esetében hanyagold el a felületi feszültségből adódó tagokat.
2.6. Most a gömb alakú buborék legyen egyenletesen feltöltve

q

töltéssel. Vezess le egy olyan egyenletet, ami tartalmazza a buborék

R_{1}

új sugarát, továbbá a következő mennyiségeket:

R_{0}

P_{a}

q

és a vákuum

ε_{0}

permittivitását (más néven a vákuum dielektromos állandóját)!
2.7. Tegyük fel, hogy a buborék teljes töltése nem túlságosan nagy (azaz

\frac{q^{2}}{ε_{0} R_{0}^{4}} ≪ P_{a}

), és ezért a buborék sugarának növekedése kicsiny. Add meg közelítőleg a buborék sugarának

Δ R

megváltozását, ahol

R_{1} = R_{0} + Δ R

! Használd a következő közelítést:

{(1 + x)}^{n} \approx 1 + n x

, ha

x ≪ 1

.
2.8. Fejezd ki a buborék álló levegőben való lebegéséhez szükséges

q

töltést a következő mennyiségek függvényében:

t

ϱ_{a}

ϱ_{s}

ε_{0}

R_{0}

P_{a}

! Számítsd ki a

q

töltés számszerű értékét is! A vákuum permittivitása:

ε_{0} = 8, 85 \cdot 10^{- 12}

farad/m.