Kezdőlap


Feladat:	2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2010/szeptember, 366 - 369. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Atommagok tulajdonságai, Egyéb magreakciók
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2010/október: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. Egyszerű atommagmodell

Bevezetés. Bár az atommagok kvantummechanikai objektumok, az alaptulajdonságaikra (mint például sugarukra, kötési energiájukra) vonatkozó fenomenologikus törvények néhány egyszerű feltételezésből megkaphatók:

(i)

az atommagok nukleonokból (protonokból és neutronokból) állnak;

(i i)

a nukleonokat összetartó erős kölcsönhatás nagyon rövid hatótávolságú (csak szomszédos nukleonok között működik);

(i i i)

egy adott atommagban a protonok száma (

Z

) közel azonos a neutronok számával (

N

), azaz

Z \approx N \approx A / 2

, ahol

A

az összes nukleon száma (tömegszám), ha

A ≫ 1

.
Fontos: A következő 1‐4. részfeladat mindegyikében használd ezeket a feltételezéseket! Az 5. részfeladat az előzőektől függetlenül megoldható.

1. Az atommag, mint szorosan illeszkedő nukleonok rendszere. Egy egyszerű modellben az atommag úgy tekinthető, mint egy gömb, mely egymáshoz szorosan illeszkedő nukleonokból áll (6.

(a)

ábra), ahol a nukleonok

r_{N} = 0, 85

fm sugarú merev golyók (

1 fm =10^{- 15}m

). A nukleáris kölcsönhatás csak az egymással közvetlenül érintkező két nukleon között működik. Az atommag teljes

V

térfogata nagyobb, mint az őt alkotó nukleonok

A V_{N}

össztérfogata, ahol

V_{N} = \frac{4}{3} r_{N}^{3} π

. Az

f = A V_{N} / V

arányt kitöltési tényezőjének hívják, és azt adja meg, hogy az atommag térfogatának hányadrészét tölti ki nukleáris anyag.

a)

Határozd meg az

f

kitöltési tényezőt, feltételezve, hogy a nukleonok egyszerű köbös (simple cubic, SC) rácsba rendeződnek. Az egyszerű köbös rácsban a nukleonok egy végtelen kockarács csúcspontjaiban találhatóak. (Lásd 6.

(b)

ábra.)

6. ábra.

(a)

Egy atommag, mint szorosan illeszkedő nukleonokból álló gömb.

(b)

Az egyszerű köbös (simple cubic, SC) térkitöltés

Fontos: Minden további kérdésben tételezd fel, hogy az atommagok kitöltési tényezője megegyezik a most kiszámolt értékkel! Ha nem tudtad megoldani az előző kérdést, akkor a továbbiakban számolj az

f = 1 / 2

értékkel!

b)

Becsüld meg az

A

tömegszámú (

A

nukleont tartalmazó) atommag átlagos

ϱ_{m}

tömegsűrűségét,

ϱ_{c}

töltéssűrűségét valamint

R

sugarát! Egy nukleon átlagos tömege

1, 67 \cdot 10^{- 27}

kg.

2. Az atommag kötési energiája (térfogati és felületi tagok). Az atommag kötési energiája az őt alkotó különálló nukleonokra való szétbontásához szükséges energia. A kötési energia legjelentősebb része a szomszédos nukleonok között működő vonzó nukleáris kölcsönhatásból származik. Az atommag belsejében található nukleonokhoz rendelhető kötési energiajárulék

a_{V} = 15

,8 MeV (

1 MeV = 1,602\cdot10^{- 13}

J). Az atommag felületén levő nukleonok járuléka közelítőleg ennek a fele,

a_{V} / 2

. Fejezd ki az

A

tömegszámú atommag

E_{b}

kötési energiáját

A

a_{V}

és

f

segítségével, figyelembe véve a felületi korrekciót is!

3. A kötési energia elektrosztatikus (Coulomb) tagja. Ismert, hogy az

R

sugarú,

Q_{0}

elektromos töltéssel térfogatában egyenletesen feltöltött gömb elektrosztatikus energiája:

\begin{matrix} U_{c} = \frac{3 Q_{0}^{2}}{20 π ε_{0} R}, ahol ε_{0} = 8, 85 \cdot 10^{- 12} C^{2} N^{- 1} m^{- 2} . \end{matrix}

a)

A fenti formula felhasználásával határozd meg az atommag elektrosztatikus energiáját! Az atommagban található protonok saját magukra nem hatnak (Coulomb-erővel), csak a többi protonra. Ezt a tényt úgy vehetjük figyelembe, hogy a végső formulában a

Z^{2} \to Z (Z - 1)

átírást hajtjuk végre. Ebben és a következő feladatokban használd ezt a korrekciót!

b)

Add meg a kötési energia teljes képletét, mely tartalmazza a fő (térfogati) tagot, valamint a felületi- és Coulomb-korrekciót!

4. Nehéz atommagok bomlása. A bomlás olyan nukleáris folyamat, mely során egy atommag könnyebb alkotóelemekre (kisebb atommagokra) esik szét. Tegyük föl, hogy egy

A

tömegszámú atommag két azonos részre bomlik, a 7. ábrán látható módon.

7. ábra. A nukleáris bomlás sematikus rajza a modellünk szerint

a)

Határozd meg a bomlástermékek együttes mozgási energiáját (

E_{kin}

-t), feltételezve, hogy a két könnyebb atommag középpontjának távolsága

d \geq 2 R (A / 2)

, ahol

R (A / 2)

a bomlás során képződött atommagok sugara! Kezdetben a bomló atommag nyugalomban volt.

b)

Feltételezve, hogy

d = 2 R (A / 2)

, határozd meg az előző,

a)

pontban

E_{kin}

-re kapott kifejezés értékét

A = 100

, 150, 200 és 250 esetén! (Eredményeidet MeV egységben add meg!) A fenti modell alapján becsüld meg, hogy mely

A

tömegszám esetén lehetséges bomlás!

5. Transzfer reakciók.

a)

A magfizikában az atommagok és a magreakciók energiáit tömeg egységekben szokás megadni. Például egy nem mozgó (nulla sebességű), ámde az alapállapothoz képest

E_{exc}

energiával gerjesztett atommag tömege

m = m_{0} + E_{exc} / c^{2}

, ahol

m_{0}

a mag nyugalmi tömege alapállapotban. Az

^{16}O +^{54}Fe\to^{12}C +^{58}Ni

magreakció az egyik példája az úgynevezett ,,transzfer reakcióknak'', amikor az egyik atommag egy része (,,klaszter'') bejut a másik atommagba (lásd a 8. ábrát). Esetünkben az átkerülő rész egy

α

részecske (

^{4}

He-klaszter). A transzfer reakciók akkor játszódnak le maximális valószínűséggel, ha a kirepülő reakciótermék (esetünkben a

^{12}

C mag) sebessége nagyság és irány szerint megegyezik a becsapódó lövedék mag (esetünkben az

^{16}

O) sebességével. A

^{54}

Fe céltárgy kezdetben nyugalomban van. A reakcióban a

^{58}

Ni magasan gerjesztett állapotba kerül. Határozd meg ennek az állapotnak a gerjesztési energiáját (és fejezd ki MeV egységekben), ha a lövedék

^{16}

O mag mozgási energiája 50 MeV. A fény sebessége

c = 3 \cdot 10^{8}

m/s.

8. ábra. A transzfer reakció vázlata

\begin{matrix} 1. & M (^{16}O) & 15,994 91 a.m.u. \\ 2. & M (^{54}Fe) & 53,939 62 a.m.u. \\ 3. & M (^{12}C) & 12,000 00 a.m.u. \\ 4. & M (^{58}Ni) & 57,935 35 a.m.u. \end{matrix}

1. táblázat. A reakciótermékek nyugalmi tömegei alapállapotukban atomi tömegegységben (a.m.u.), ahol

1 a.m.u.= 1,6605\cdot10^{- 27}

b)

a)

részben tárgyalt, gerjesztett állapotú

^{58}

Ni mag alapállapotba jut (,,legerjesztődik''), miközben kibocsát egy gamma-fotont a mozgásának irányában. Tárgyaljuk ezt a bomlást abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a

^{58}

Ni mag nyugalomban van, és határozzuk meg a

^{58}

Ni mag visszalökődési energiáját (vagyis azt a mozgási energiát, amivel a

^{58}

Ni mag rendelkezik a foton kibocsátása után). Mekkora a foton energiája ebben a vonatkoztatási rendszerben? Mekkora a foton energiája a laboratóriumi kordináta rendszerben (azaz mekkora foton energiát mérne az a detektor, amelyet a

^{58}

Ni mag mozgásának irányába állítanának be)?