Feladat: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2010/szeptember, 366 - 369. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Atommagok tulajdonságai, Egyéb magreakciók
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2010/október: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. Egyszerű atommagmodell

 
Bevezetés. Bár az atommagok kvantummechanikai objektumok, az alaptulajdonságaikra (mint például sugarukra, kötési energiájukra) vonatkozó fenomenologikus törvények néhány egyszerű feltételezésből megkaphatók:
(i) az atommagok nukleonokból (protonokból és neutronokból) állnak;
(ii) a nukleonokat összetartó erős kölcsönhatás nagyon rövid hatótávolságú (csak szomszédos nukleonok között működik);
(iii) egy adott atommagban a protonok száma (Z) közel azonos a neutronok számával (N), azaz ZNA/2, ahol A az összes nukleon száma (tömegszám), ha A1.
Fontos: A következő 1‐4. részfeladat mindegyikében használd ezeket a feltételezéseket! Az 5. részfeladat az előzőektől függetlenül megoldható.
 
1. Az atommag, mint szorosan illeszkedő nukleonok rendszere. Egy egyszerű modellben az atommag úgy tekinthető, mint egy gömb, mely egymáshoz szorosan illeszkedő nukleonokból áll (6.(a) ábra), ahol a nukleonok rN=0,85 fm sugarú merev golyók (1 fm =  10-15 m). A nukleáris kölcsönhatás csak az egymással közvetlenül érintkező két nukleon között működik. Az atommag teljes V térfogata nagyobb, mint az őt alkotó nukleonok AVN össztérfogata, ahol VN=43rN3π. Az f=AVN/V arányt kitöltési tényezőjének hívják, és azt adja meg, hogy az atommag térfogatának hányadrészét tölti ki nukleáris anyag.
a) Határozd meg az f kitöltési tényezőt, feltételezve, hogy a nukleonok egyszerű köbös (simple cubic, SC) rácsba rendeződnek. Az egyszerű köbös rácsban a nukleonok egy végtelen kockarács csúcspontjaiban találhatóak. (Lásd 6.(b) ábra.)
 

 
6. ábra. (a) Egy atommag, mint szorosan illeszkedő nukleonokból álló gömb. (b) Az egyszerű köbös (simple cubic, SC) térkitöltés
 

Fontos: Minden további kérdésben tételezd fel, hogy az atommagok kitöltési tényezője megegyezik a most kiszámolt értékkel! Ha nem tudtad megoldani az előző kérdést, akkor a továbbiakban számolj az f=1/2 értékkel!
b) Becsüld meg az A tömegszámú (A nukleont tartalmazó) atommag átlagos ϱm tömegsűrűségét, ϱc töltéssűrűségét valamint R sugarát! Egy nukleon átlagos tömege 1,6710-27 kg.
 
2. Az atommag kötési energiája (térfogati és felületi tagok). Az atommag kötési energiája az őt alkotó különálló nukleonokra való szétbontásához szükséges energia. A kötési energia legjelentősebb része a szomszédos nukleonok között működő vonzó nukleáris kölcsönhatásból származik. Az atommag belsejében található nukleonokhoz rendelhető kötési energiajárulék aV=15,8 MeV (1 MeV = 1,60210-13 J). Az atommag felületén levő nukleonok járuléka közelítőleg ennek a fele, aV/2. Fejezd ki az A tömegszámú atommag Eb kötési energiáját A, aV és f segítségével, figyelembe véve a felületi korrekciót is!
 
3. A kötési energia elektrosztatikus (Coulomb) tagja. Ismert, hogy az R sugarú, Q0 elektromos töltéssel térfogatában egyenletesen feltöltött gömb elektrosztatikus energiája:
Uc=3Q0220πε0R,aholε0=8,8510-12C2N-1m-2.

a) A fenti formula felhasználásával határozd meg az atommag elektrosztatikus energiáját! Az atommagban található protonok saját magukra nem hatnak (Coulomb-erővel), csak a többi protonra. Ezt a tényt úgy vehetjük figyelembe, hogy a végső formulában a Z2Z(Z-1) átírást hajtjuk végre. Ebben és a következő feladatokban használd ezt a korrekciót!
b) Add meg a kötési energia teljes képletét, mely tartalmazza a fő (térfogati) tagot, valamint a felületi- és Coulomb-korrekciót!
 
4. Nehéz atommagok bomlása. A bomlás olyan nukleáris folyamat, mely során egy atommag könnyebb alkotóelemekre (kisebb atommagokra) esik szét. Tegyük föl, hogy egy A tömegszámú atommag két azonos részre bomlik, a 7. ábrán látható módon.
 

 
7. ábra. A nukleáris bomlás sematikus rajza a modellünk szerint
 

a) Határozd meg a bomlástermékek együttes mozgási energiáját (Ekin-t), feltételezve, hogy a két könnyebb atommag középpontjának távolsága d2R(A/2), ahol R(A/2) a bomlás során képződött atommagok sugara! Kezdetben a bomló atommag nyugalomban volt.
b) Feltételezve, hogy d=2R(A/2), határozd meg az előző, a) pontban Ekin-re kapott kifejezés értékét A=100, 150, 200 és 250 esetén! (Eredményeidet MeV egységben add meg!) A fenti modell alapján becsüld meg, hogy mely A tömegszám esetén lehetséges bomlás!
 
5. Transzfer reakciók. a) A magfizikában az atommagok és a magreakciók energiáit tömeg egységekben szokás megadni. Például egy nem mozgó (nulla sebességű), ámde az alapállapothoz képest Eexc energiával gerjesztett atommag tömege m=m0+Eexc/c2, ahol m0 a mag nyugalmi tömege alapállapotban. Az 16O +  54Fe  12C +  58Ni magreakció az egyik példája az úgynevezett ,,transzfer reakcióknak'', amikor az egyik atommag egy része (,,klaszter'') bejut a másik atommagba (lásd a 8. ábrát). Esetünkben az átkerülő rész egy α részecske (4He-klaszter). A transzfer reakciók akkor játszódnak le maximális valószínűséggel, ha a kirepülő reakciótermék (esetünkben a 12C mag) sebessége nagyság és irány szerint megegyezik a becsapódó lövedék mag (esetünkben az 16O) sebességével. A 54Fe céltárgy kezdetben nyugalomban van. A reakcióban a 58Ni magasan gerjesztett állapotba kerül. Határozd meg ennek az állapotnak a gerjesztési energiáját (és fejezd ki MeV egységekben), ha a lövedék 16O mag mozgási energiája 50 MeV. A fény sebessége c=3108 m/s.
 
 

8. ábra. A transzfer reakció vázlata
 

1.M(16O)  15,994 91 a.m.u.  2.M(54Fe)  53,939 62 a.m.u.  3.M(12C)  12,000 00 a.m.u.  4.M(58Ni)  57,935 35 a.m.u.  
 

1. táblázat. A reakciótermékek nyugalmi tömegei alapállapotukban atomi tömegegységben (a.m.u.), ahol 1 a.m.u.= 1,660510-27 kg

 
b) Az a) részben tárgyalt, gerjesztett állapotú 58Ni mag alapállapotba jut (,,legerjesztődik''), miközben kibocsát egy gamma-fotont a mozgásának irányában. Tárgyaljuk ezt a bomlást abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a 58Ni mag nyugalomban van, és határozzuk meg a 58Ni mag visszalökődési energiáját (vagyis azt a mozgási energiát, amivel a 58Ni mag rendelkezik a foton kibocsátása után). Mekkora a foton energiája ebben a vonatkoztatási rendszerben? Mekkora a foton energiája a laboratóriumi kordináta rendszerben (azaz mekkora foton energiát mérne az a detektor, amelyet a 58Ni mag mozgásának irányába állítanának be)?