Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/október, 425 - 428. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Pontrendszerek mozgásegyenletei, A Hold mozgásával kapcsolatos jelenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2009/november: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. A Föld‐Hold rendszer fejlődése

A tudósok nagy pontossággal meg tudják határozni a Föld‐Hold távolságot. Ezt úgy végzik el, hogy űrhajósok által 1969-ben a Holdra helyezett speciális tükörre lőtt lézersugár visszaverődési idejét mérik (hátsó belső borító, bal felső ábra).
Ilyen módszerrel közvetlenül megmutatható, hogy a Hold lassan távolodik a Földtől, azaz a Föld‐Hold távolság időben lassan növekszik. Ennek oka az, hogy az árapály jelenség során a Föld forgatónyomatékkal hat a Holdra, és így (pálya-) impulzusmomentumát (perdületét) megváltoztatja (1. ábra). Ebben a feladatban ennek a jelenségnek a legfontosabb paramétereit vizsgáljuk meg.

1. ábra. A Hold gravitációs hatása következtében a Föld vízfelszínén árapály deformációk, kitüremkedések (,,bulges'') jönnek létre. A Föld forgása miatt a kitüremkedések tengelye nem esik pontosan egybe a Föld‐Hold egyenessel. Ez a kis eltérés olyan forgatónyomatékot eredményez, mely a Föld forgásának impulzusmomentumát csökkenti, a Hold pálya menti impulzusmomentumát pedig növeli. Az ábra nem méretarányos

1. Impulzusmomentum-megmaradás
Legyen

L_{1}

a Föld‐Hold rendszer jelenlegi impulzusmomentuma. Éljünk a következő közelítő feltevésekkel:

i)

L_{1}

csupán a Földnek a tengely körüli forgásából adódó impulzusmomentumának és a Holdnak a Föld körüli keringéséből adódó (pálya-)impulzusmomentumának összege.

i i)

A Hold pályája köralakú, és a Hold pontszerűnek tekinthető.

i i i)

A Föld forgástengelye és a Hold keringésének tengelye párhuzamos.

i v)

A számolás egyszerűsítése érdekében úgy tekintjük, hogy a mozgás a Föld középpontja körül megy végbe, nem pedig a rendszer tömegközéppontja körül. Ebben a feladatban mindenütt minden tehetetlenségi nyomatékot, impulzusmomentumot illetve forgatónyomatékot a Föld tengelyére vonatkoztatunk.

v)

A Nap hatását elhanyagoljuk.
1.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer jelenlegi teljes impulzusmomentumát! Válaszodat a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka:

I_{F}

; a Föld forgásának jelenlegi szögsebessége:

ω_{F1}

; a Hold jelenlegi tehetetlenségi nyomatéka a Föld tengelyére vonatkoztatva:

I_{H1}

; a Hold keringésének jelenlegi szögsebessége:

ω_{H1}

.
Ez az impulzusmomentum-átadási folyamat addig tart, amíg a Föld forgásának periódusideje egyenlővé nem válik a Hold Föld körüli keringésének idejével. Ekkor a Hold által az óceánok felszínén okozott árapály kitüremkedések (,,bulges'') tengelye egybe fog esni a Föld‐Hold egyenessel, és a két égitest közti forgatónyomaték nullává válik.
1.b. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes

L_{2}

impulzusmomentumát ebben a végső helyzetben! Ugyanazokkal az egyszerűsítő feltevésekkel dolgozz, mint az 1.a. feladatban. Végeredményedet a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka:

I_{F}

; a Föld forgásának és a Hold keringésének végső szögsebessége:

ω_{2}

; a Hold végső tehetetlenségi nyomatéka:

I_{H2}

.
1.c. A végső teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát elhanyagolva írd föl az impulzusmomentum-megmaradás egyenletét erre a problémára!

2. Végső pályasugár és végső szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
Tegyük föl, hogy a Holdat a gravitációs erő minden esetben a Föld körüli körpályán tartja. A végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát hanyagoljuk el.
2.a. A végső helyzetben írd föl a Föld körül keringő Holdra a körmozgás alapegyenletét a következő mennyiségek felhasználásával:

M_{F}

ω_{2}

G

és

D_{2}

, ahol

D_{2}

a végső távolság a Föld és a Hold között,

M_{F}

a Föld tömege,

G

pedig a gravitációs állandó.
2.b. Add meg a Hold végső pályasugarát,

D_{2}

-t a következő mennyiségekkel: a rendszer teljes impulzusmomentuma:

L_{1}

; a Föld, illetve a Hold tömege:

M_{F}

, illetve

M_{H}

; a gravitációs állandó

G

.
2.c. Add meg a Föld‐Hold rendszer végső

ω_{2}

szögsebességének képletét az

L_{1}

M_{F}

M_{H}

és

G

mennyiségek segítségével!
Most

D_{2}

és

ω_{2}

számszerű értékét határozzuk meg. Ehhez szükség van a Föld tehetetlenségi nyomatékára.
2.d. Tételezzük föl, hogy a Föld sűrűsége belül, a középponttól

r_{1}

sugárig

ϱ_{1}

, míg ezen kívül, tehát az

r_{1}

sugártól a felszínig,

r_{0}

-ig a sűrűség

ϱ_{0}

. Add meg a Föld

I_{F}

tehetetlenségi nyomatékának képletét (2. ábra)!

2. ábra. A gömb alakú Föld a két különböző,

ϱ_{1}

és

ϱ_{0}

sűrűségű tartománnyal

Ebben a feladatban a kért számadatokat minden esetben két értékes jegy pontossággal határozd meg!
2.e. Határozd meg a Föld

I_{F}

tehetetlenségi nyomatékának számértékét, felhasználva, hogy

ϱ_{1} = 1, 3 \cdot 10^{4} {kg m}^{- 3}

r_{1} = 3, 5 \cdot 10^{6}

ϱ_{0} = 4, 0 \cdot 10^{3} {kg m}^{- 3}

és

r_{0} = 6, 4 \cdot 10^{6}

m.
A Föld, illetve a Hold tömege

M_{F} = 6, 0 \cdot 10^{24}

kg, illetve

M_{H} = 7, 3 \cdot 10^{22}

kg. A két égitest jelenlegi távolsága

D_{1} = 3, 8 \cdot 10^{8}

m. A Föld forgásának jelenlegi szögsebessége

ω_{F1} = 7, 3 \cdot 10^{- 5} s^{- 1}

. A Hold Föld körüli keringésének jelenlegi szögsebessége

ω_{H1} = 2, 7 \cdot 10^{- 6} s^{- 1}

, a gravitációs állandó értéke pedig

G = 6, 7 \cdot 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2}

.
2.f. Határozd meg a rendszer

L_{1}

teljes impulzusmomentumának számértékét!
2.g. Határozd meg a végső,

D_{2}

pályasugár értékét méterben, valamint a jelenlegi,

D_{1}

pályasugár arányában!
2.h. Határozd meg a végső,

ω_{2}

szögsebesség értékét s

^{- 1}

-ban, valamint add meg a végső helyzetben egy nap hosszát a jelenlegi nap hosszának arányában!
Ellenőrizd, hogy a végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásából adódó járulék valóban elhanyagolható! Ehhez azt kell megmutatni, hogy a Föld és a Hold végső impulzusmomentumának aránya kis szám.
2.i. Határozd meg a végső helyzetben a Föld és a Hold impulzusmomentumának arányát!

3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
Ebben a részben azt határozzuk meg, hogy mennyivel távolodik a Hold a Földtől évenként. Ehhez először ki kell számolni, hogy jelenleg mekkora forgatónyomatékot fejt ki a Föld a Holdra. Tegyük fel, hogy az árapály deformációból származó kitüremkedések két

m

tömegű tömegponttal közelíthetőek, melyek a Föld felszínén helyezkednek el (3. ábra). Legyen továbbá

ϑ

a Föld‐Hold egyenesnek a kitüremkedések tengelyével bezárt szöge.

3. ábra. Vázlat a dagály-kitüremkedések által a Holdra kifejtett forgatónyomaték számolásához. Az ábra nem méretarányos

3.a. Add meg a Holdhoz közelebbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének

F_{c}

nagyságát!
3.b. Add meg a Holdtól távolabbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének

F_{f}

nagyságát!
Ezután meghatározhatjuk a tömegpontok forgatónyomatékát.
3.c. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható

τ_{c}

forgatónyomatékának nagyságát!
3.d. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható

τ_{f}

forgatónyomatékának nagyságát!
3.e. Határozd meg a két tömegpont

τ

eredő forgatónyomatékának nagyságát! Mivel

r_{0} ≪ D_{1}

, az eredményt

r_{0} / D_{1}

első nem eltűnő hatványáig sorbafejtve add meg. Felhasználhatod, hogy

{(1 + x)}^{a} \approx 1 + a x

, ha

x ≪ 1

.
3.f. Add meg a

τ

forgatónyomaték számértékét, felhasználva, hogy

ϑ = 3^{\circ}

, és

m = 3, 6 \cdot 10^{16}

kg. (Megjegyzendő, hogy ennek a tömegnek a nagyságrendje

10^{- 8}

-szorosa a Föld tömegének.)
Felhasználva, hogy a forgatónyomaték az impulzusmomentum időbeli változási sebessége, határozd meg a Föld‐Hold távolság éves növekedésének jelenlegi értékét! Ehhez fejezd ki a Hold impulzusmomentumát kizárólag az

M_{H}

M_{F}

D_{1}

és

G

mennyiségekkel.
3.g. Határozd meg a Föld‐Hold távolság évenkénti növekedésének jelenlegi értékét!
Végül becsüld meg, hogy mennyivel nő egy év alatt egy nap hossza.
3.h. Add meg, hogy egy év alatt mennyivel csökken

ω_{F1}

, és jelenleg mennyivel nő egy nap hossza egy év alatt!

4. Hová lesz az energia? Az impulzusmomentummal szemben, ami megmarad, a rendszer teljes mechanikai energiája (forgási és gravitációs) nem állandó. Az utolsó részben ezt a kérdést vizsgáljuk.
4.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes

E

mechanikai energiáját (forgási- plusz gravitációs energiáját) az égitestek jelenlegi helyzetében! Az eredményt kizárólag az

I_{F}

ω_{F1}

M_{H}

M_{F}

D_{1}

és

G

mennyiségekkel fejezd ki!
4.b. Fejezd ki az

E

energia megváltozását,

Δ E

-t a

D_{1}

és

ω_{F1}

mennyiségek megváltzásával! Határozd meg

Δ E

számszerű értékét egy évre vonatkoztatva, felhasználva a

D_{1}

és

ω_{F1}

mennyiségek megváltozásának

3 g

és

3 h

pontban kiszámolt értékét!
Most ellenőrizzük, hogy az így kapott energiaveszteség összeegyeztethető azzal a hővel, amit a Hold árapály hatása hoz létre a Földön. Tegyük föl, hogy a dagály átlagosan 0,5 m-rel emel meg egy

h = 0, 5

m mély vízréteget, a Föld teljes felszínén. (Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy a Föld teljes felszíne vízzel van borítva.) Ez az emelkedés (dagály) minden nap kétszer következik be. Tegyük fel továbbá, hogy a víz viszkozitásának következtében ennek a gravitációs energiának 10%-a disszipálódik hő formájában apály alkalmával. A víz sűrűsége

ϱ_{víz} = 10^{3} {kg m}^{- 3}

, és a Föld felszínén a gravitációs gyorsulás

g = 9, 8 {m s}^{- 2}

.
4.c. Mekkora a szóban forgó felületi vízréteg tömege?
4.d. Határozd meg, hogy mennyi energia disszipálódik egy év alatt! Milyen viszonyban áll ez a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiájának jelenlegi évenkénti csökkenésével?