Kezdőlap


Feladat:	B.3707	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/február, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok, Tetraéderek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2005/március: B.3707

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C D$ tetraéder élei rendre $A B = c$ , $B C = a$ , $C A = b$ , $D A = a_{1}$ , $D B = b_{1}$ , végül $D C = c_{1}$ . Legyen $h$ a tetraéder $D$ csúcsából induló súlyvonalának a hossza. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} h^{2} = \frac{1}{3} (a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}) - \frac{1}{9} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}