Kezdőlap


Feladat:	N.80	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1995/október, 426. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Egyenlőtlenségek, Rekurzív sorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1996/december: N.80

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ sorozatokat a következőképpen definiáljuk:

\begin{matrix} a_{1} = 1, b_{1} = 2, c_{1} = 4; \end{matrix}

tetszőleges

n > 1

egészre

a_{n}

a legkisebb pozitív egész, amely nem szerepel az

a_{1}

, ..,

a_{n - 1}

b_{1}

, ..,

b_{n - 1}

és

c_{1}

, ..,

c_{n - 1}

számok között;

b_{n}

a legkisebb pozitív egész, amely nem szerepel az

a_{1}

, ..,

a_{n}

b_{1}

, ..,

b_{n - 1}

és

c_{1}

, ..,

c_{n - 1}

számok között, és

c_{n} = n + 2 b_{n} - a_{n}

. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} 0 < (1 + \sqrt[]{3}) n - b_{n} < 2. \end{matrix}