Feladat: 1997. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1997/szeptember, 323. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mátrixjátékok, Sakk, Háromszög területe, Tengelyes tükrözés, Egyéb szinezési problémák, Szélsőérték-feladatok, Függvények korlátossága, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sík egész koordinátájú pontjai egységnégyzetek csúcsai. Ezeket a négyzeteket váltakozva fehérre és feketére színezzük (mint egy sakktáblán).
Pozitív egészek tetszőleges m, n párja esetén tekintsünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek csúcsai egész koordinátájúak és amelynek befogói, melyek hossza m és n a négyzetek éleire illeszkednek.
Legyen S1 a háromszög fekete színű részének az összterülete, S2 pedig a fehér színű rész összterülete. Legyen

f(m,n)=|S1-S2|.


(a) Számítsuk ki f(m,n)-et minden olyan m és n pozitív egész esetén, amelyek vagy mindketten párosak, vagy mindketten páratlanok.

(b) Bizonyítsuk be, hogy f(m,n)12max(m,n) minden m és n-re.

(c) Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan C konstans, hogy f(m,n)<C minden m és n-re.