Egy $ABC$ háromszög síkjára mindegyik csúcsában merőlegest állítunk, és ezekre ‐ a sík ugyanazon oldalán ‐ fölmérjük az $A{A}_1=k\cdot BC$, $B{B}_1=k\cdot CA$, $C{C}_1=k\cdot AB$ szakaszt. Határozzuk meg $k$-t úgy, hogy az $ABC$ háromszög súlypontja egyenlő távolságra legyen az $A_1$, $B_1$, $C_1$ pontoktól. Mekkora ez a távolság?^{${}^{*}$}