Kezdőlap


Feladat:	F.1857	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1973/január, 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Műveletek polinomokkal, Valós együtthatós polinomok, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1973/december: F.1857

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a következő jelölést:

\begin{matrix} x^{(n)} = \frac{x (x - 1) (x - 2) \cdot ... \cdot (x - n + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}, \end{matrix}

(1)

n = 1, 2, 3, ...

. Bizonyítsuk be, hogy
a) minden

n

-edfokú polinom felírható

\begin{matrix} b_{0} + b_{1} x^{(1)} + b_{2} x^{(2)} + ... + b_{n} x^{(n)} \end{matrix}

(2)

alakban, ahol a

b_{i}

-k valós számok

(i = 0, 1, 2, ..., n)

.
b) a polinom akkor és csak akkor vesz fel minden egész helyen egész értéket, ha a (2) előállításban minden

b_{i}

egész szám.