Cím:	A Huygens-féle cikloisinga
Szerző(k):	Woynarovich Ferenc
Füzet:	2019/március, 177 - 181. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek, Egyéb kényszermozgás

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A Huygens-féle cikloisinga       Bevezetés Köztudott, hogy az $\ell$ hosszúságú matematikai inga lengésideje nem független a lengés amplitúdójától, és a $T=2\pi \sqrt[]{\ell /g}$ kifejezés tulajdonképpen egy közelítés, ami annál pontosabb, minél kisebb az amplitúdó. Természetes módon vetődik fel a kérdés: hogyan lehet olyan ingát készíteni, amelynek az amplitúdótól függetlenül ez a lengésideje. Erre a kérdésre adott választ Christiaan Huygens (1629‐1695) holland matematikus, fizikus, csillagász, és az alábbiakban az általa konstruált szerkezetet mutatjuk be. A kérdést két részre bontva tárgyaljuk. Mivel az egyszerű inga esetében a lengésidő amplitúdófüggése onnan ered, hogy az $s$ kitérés és a hozzá tartozó $mg\text{sin}\left(s/\ell \right)$ visszatérítő erő csak közelítőleg arányosak egymással, először azt vizsgáljuk meg, milyen alakú kényszerpályán kell egy testnek haladni ahhoz, hogy a gravitációs erő pálya menti komponense arányos legyen a pálya mentén mérhető úttal. Ezután megnézzük, hogyan érhető el, hogy a lengő súly éppen ilyen alakú pályán mozogjon.   A kényszerpálya alakja A keresett kényszerpályát meghatározó összefüggés tehát (1. ábra)     1. ábra   $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{sin}\alpha \left(s\right)=Ds\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Ennek az egyenletnek a megoldása felsőbb matematikai ismereteket igényel, ezért itt azt az utat választjuk, hogy megadjuk a megoldást, és belátjuk, hogy valóban megfelel a fentieknek. A kényszerpálya egy ciklois. Ha egy kör egy egyenesen gördül, minden pontja ciklois pályán mozog. Az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben az $r$ sugarú kör az $y=2r$ egyenletű egyenesen gördül, és azt a cikloist választjuk, amelyik átmegy az origón. Ennek a paraméteres egyenlete ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x_1\left(\phi \right)}& {\displaystyle =r\left(\phi +\text{sin}\phi \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y_1\left(\phi \right)}& {\displaystyle =r\left(1-\text{cos}\phi \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ (Ez egy periodikus görbe, de számunkra csak a $-\pi <\phi <\pi$ szakasza érdekes.) Belátjuk, hogy erre a görbére az (1) egyenlet teljesül, ha a távolságot az ív mentén az origótól mérjük. Elsőnek a cikloisív hosszát számoljuk ki. Tekintsük a görbe egy adott, $\phi$-vel jellemzett pontját! A 0-tól $\phi$-ig terjedő szögtartományt felosztjuk $N$ részre úgy, hogy ${\phi }_0=0$, ${\phi }_N=\phi$ és ${\phi }_n-{\phi }_{n-1}={\Delta }_n$ legyen. A felosztás lehet egyenletes, de ez nem szükséges. Amint majd látni fogjuk, egyedül az a fontos, hogy minden ${\Delta }_n$ olyan kicsiny legyen, hogy a $\text{sin}{\Delta }_n\approx {\Delta }_n$ közelítés alkalmazható legyen. Ezután vegyük a ${\phi }_n$-ekhez tartozó $\left(x_n\mathrm{,}{y}_n\right)$ pontokat, és a görbeszakaszokat közelítsük a szomszédos pontok közötti húrokkal (2. ábra)!   Ennek a sokszorosan megtört vonalnak a hossza annál jobban megközelíti a cikloisív hosszát, minél finomabb a felosztás. Ennek megfelelően $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(\phi \right)\approx \sum s_n\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle s_n}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(x_n-x_{n-1}\right)}^2+{\left(y_n-y_{n-1}\right)}^2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =r\sqrt[]{{\left({\Delta }_n+\text{sin}{\phi }_n-\text{sin}{\phi }_{n-1}\right)}^2+{\left(\text{cos}{\phi }_{n-1}-\text{cos}{\phi }_n\right)}^2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A szögfüggvények különbségének azonos átalakítása után, majd alkalmazva a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}\frac{{\Delta }_n}{2}\approx {\Delta }_n}\end{array}$ közelítést az $\begin{array}{c}{\displaystyle s_n=r{\Delta }_n\sqrt[]{2\left(1+\text{cos}\frac{{\phi }_n+{\phi }_{n-1}}{2}\right)}}\end{array}$ kifejezést kapjuk, ami a félszögekre vonatkozó azonosság és a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Delta }_n\approx 4\text{sin}\frac{{\Delta }_n}{4}}\end{array}$ közelítés, majd ismét a szögfüggvények különbségére vonatkozó addíciós tétel segítségével az $\begin{array}{c}{\displaystyle s_n=4r\left(\text{sin}\frac{{\phi }_n}{2}-\text{sin}\frac{{\phi }_{n-1}}{2}\right)}\end{array}$ különbségre vezet. Ha ezeket összeadjuk, a közbülső tagok kiesnek, és az $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(\phi \right)=4r\left(\text{sin}\frac{{\phi }_N}{2}-\text{sin}\frac{{\phi }_0}{2}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis az $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(\phi \right)=4r\text{sin}\frac{\phi }{2}}\end{array}$ (2) eredmény adódik.   Megjegyzés. A fenti összefüggés nem azt jelenti, hogy a húrokból álló vonal hossza a felosztástól függetlenül megegyezik az ív hosszával, hanem azt, hogy a két hosszúság az alkalmazott közelítésekből következő pontossággal azonos. Márpedig minél finomabb a felosztás, a közelítések annál pontosabbak, így a fenti eredmény egzaktnak tekintendő. Ezért használjuk a $\approx$ jel helyett a határozott egyenlőséget.   Következő lépésként a $\phi$-vel jellemzett ponthoz tartozó $\alpha \left(\phi \right)$ szöget kell kiszámolnunk. Ehhez tekintsük a ${\phi }_N$ és a ${\phi }_{N-1}$ pontokat összekötő húr vízszintessel bezárt ${\alpha }_N$ szögét! Nyilván, minél kisebb ${\Delta }_N$, az ${\alpha }_N$ szög annál jobban megközelíti $\alpha \left(\phi \right)$-t. Másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_N=\frac{y_N-y_{N-1}}{x_N-x_{N-1}}\mathrm{,}}\end{array}$ ami behelyettesítés után a már ismert közelítéssel és átalakításokkal a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_N=\text{tg}\left(\frac{{\phi }_N+{\phi }_{N-1}}{4}\right)=\text{tg}\left(\frac{{\phi }_N}{2}-\frac{{\Delta }_N}{4}\right)}\end{array}$ alakra hozható, amiből egyértelmű, hogy a felosztás finomításával ${\alpha }_N$ egyre pontosabban megközelíti ${\phi }_N/2$-t. Így tehát írhatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha \left(\phi \right)=\frac{\phi }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A (2) és (3) eredményeket az (1) egyenletbe behelyettesítve a ,,rugóállandóra'' a $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{mg}{4r}}\end{array}$ értéket kapjuk, tehát (ellentétben a matematikai inga esetével) a cikloispályán a kitérés és a visszatérítő erő aránya a kitéréstől független állandó. Innen a $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{m}{D}}=2\pi \sqrt[]{\frac{4r}{g}}}\end{array}$ képlet alapján az következik, hogy a kérdéses cikloispályán az origó ($\phi =0$) körül súrlódás nélkül ide-oda mozgó test rezgésideje egy $\ell =4r$ hosszúságú matematikai inga (kis kitérésekhez tartozó) lengésidejének felel meg, de a cikloisinga esetében a periódusidő a lengés amplitúdójától független.   Megjegyzés. A periódusidő amplitúdófüggetlensége persze nem minden határon túl értendő, hiszen a visszatérítő erőt a gravitáció adja, ennek a természetes felső határa pedig a teljes súly. A kapott (a $D$ rugóállandónak megfelelő) arányossági tényező mellett a legnagyobb visszatérítő erő éppen az $s=4r$ ,,kitéréshez'' tartozik. Ebben a pontban a ciklois érintője függőlegessé válik, de mivel a ciklois fölfelé nem folytatódik, nagyobb kitérésről nincs értelme beszélnünk.     A cikloispálya létrehozása Ha azt akarjuk, hogy egy matematikai inga nehezéke ne körpályán, hanem valami más pályán mozogjon, a lengést megfelelően kialakított akadályok közé kell szorítani (3. ábra). Belátható, hogy ha az elérendő pálya ciklois, akkor ‐ furcsa módon ‐ az alkalmazandó akadályprofilok ugyancsak $r$ paraméterű cikloisívek, amelyek az elvárt pályához képest fölfelé $2r$ távolsággal, oldalra pedig fél periódussal el vannak tolva. Esetünkben ezek egyenlete ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x_2\left(\vartheta \right)}& {\displaystyle =r\left(\vartheta -\text{sin}\vartheta \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y_2\left(\vartheta \right)}& {\displaystyle =r\left(3+\text{cos}\vartheta \right)\mathrm{,}\left(-\pi <\vartheta <\pi \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     3. ábra   Azt, hogy ezek a  profilok a $\left(\mathrm{0,4}r\right)$ pontban felfüggesztett, $4r$ hosszúságú inga esetében valóban az $\left(x_1\mathrm{,}{y}_1\right)$ pályát szolgáltatják, a következőképpen láthatjuk be. Feküdjön fel az inga fonala a $\vartheta$-val jellemzett pontig! Ez a cikloisívet egy $s_1$ és egy $s_2$ hosszúságú darabra osztja. Mivel ezek összege $4r$, az inga szabadon lévő, a cikloistól az érintő irányában elálló, a vízszintessel $\beta$ szöget bezáró részének hossza is $s_2$. A (2) és (3) egyenletek segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\beta =\frac{s_2}{4r}=\text{sin}\left(\frac{\pi -\vartheta }{2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A lengő súly koordinátái az előző egyenlet és addíciós tételek felhasználásával: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x\left(\vartheta \right)}& {\displaystyle =x_2\left(\vartheta \right)+s_2\text{cos}\beta =r\left(\vartheta +\text{sin}\vartheta \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y\left(\vartheta \right)}& {\displaystyle =y_2\left(\vartheta \right)-s_2\text{sin}\beta =r\left(1-\text{cos}\vartheta \right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ami valóban a szükséges pálya. Vajon miért nem találkozunk ilyen ingaórákkal, miért nem ilyennek építették a nagy pontosságú órákat? A válasz egyszerű: az ingaóra pontossága azt jelenti, hogy az ismétlődő lengések ideje a kívánalmaknak megfelelően azonos, márpedig ez biztosított, ha a lengések amplitúdója mindig ugyanakkora. Ezt megoldja az energiaveszteség megfelelő pótlása, nem szükséges tehát, hogy bármilyen amplitúdó mellett ugyanaz legyen a lengésidő. A Huygens-féle cikloisinga gyakorlati szempontból nem hozott áttörést az igen pontos ingaórákért folyó versenyfutásban, de elméleti érdekessége és matematikai szépsége több, mint három évszázad múltán is kiérdemli csodálatunkat.