Cím: A Huygens-féle cikloisinga
Szerző(k):  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 2019/március, 177 - 181. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek, Egyéb kényszermozgás

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
A Huygens-féle cikloisinga
 


 
 
Bevezetés

Köztudott, hogy az  hosszúságú matematikai inga lengésideje nem független a lengés amplitúdójától, és a T=2π/g kifejezés tulajdonképpen egy közelítés, ami annál pontosabb, minél kisebb az amplitúdó. Természetes módon vetődik fel a kérdés: hogyan lehet olyan ingát készíteni, amelynek az amplitúdótól függetlenül ez a lengésideje. Erre a kérdésre adott választ Christiaan Huygens (1629‐1695) holland matematikus, fizikus, csillagász, és az alábbiakban az általa konstruált szerkezetet mutatjuk be. A kérdést két részre bontva tárgyaljuk. Mivel az egyszerű inga esetében a lengésidő amplitúdófüggése onnan ered, hogy az s kitérés és a hozzá tartozó mgsin(s/) visszatérítő erő csak közelítőleg arányosak egymással, először azt vizsgáljuk meg, milyen alakú kényszerpályán kell egy testnek haladni ahhoz, hogy a gravitációs erő pálya menti komponense arányos legyen a pálya mentén mérhető úttal. Ezután megnézzük, hogyan érhető el, hogy a lengő súly éppen ilyen alakú pályán mozogjon.
 
A kényszerpálya alakja

A keresett kényszerpályát meghatározó összefüggés tehát (1. ábra)
 

 
1. ábra
 
mgsinα(s)=Ds.(1)
Ennek az egyenletnek a megoldása felsőbb matematikai ismereteket igényel, ezért itt azt az utat választjuk, hogy megadjuk a megoldást, és belátjuk, hogy valóban megfelel a fentieknek. A kényszerpálya egy ciklois. Ha egy kör egy egyenesen gördül, minden pontja ciklois pályán mozog. Az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben az r sugarú kör az y=2r egyenletű egyenesen gördül, és azt a cikloist választjuk, amelyik átmegy az origón. Ennek a paraméteres egyenlete
x1(φ)=r(φ+sinφ),y1(φ)=r(1-cosφ).
(Ez egy periodikus görbe, de számunkra csak a -π<φ<π szakasza érdekes.) Belátjuk, hogy erre a görbére az (1) egyenlet teljesül, ha a távolságot az ív mentén az origótól mérjük.
Elsőnek a cikloisív hosszát számoljuk ki. Tekintsük a görbe egy adott, φ-vel jellemzett pontját! A 0-tól φ-ig terjedő szögtartományt felosztjuk N részre úgy, hogy φ0=0, φN=φ és φn-φn-1=Δn legyen. A felosztás lehet egyenletes, de ez nem szükséges. Amint majd látni fogjuk, egyedül az a fontos, hogy minden Δn olyan kicsiny legyen, hogy a sinΔnΔn közelítés alkalmazható legyen. Ezután vegyük a φn-ekhez tartozó (xn,yn) pontokat, és a görbeszakaszokat közelítsük a szomszédos pontok közötti húrokkal (2. ábra)!
 

Ennek a sokszorosan megtört vonalnak a hossza annál jobban megközelíti a cikloisív hosszát, minél finomabb a felosztás. Ennek megfelelően
s(φ)sn,
ahol
sn=(xn-xn-1)2+(yn-yn-1)2==r(Δn+sinφn-sinφn-1)2+(cosφn-1-cosφn)2.
A szögfüggvények különbségének azonos átalakítása után, majd alkalmazva a
2sinΔn2Δn
közelítést az
sn=rΔn2(1+cosφn+φn-12)
kifejezést kapjuk, ami a félszögekre vonatkozó azonosság és a
Δn4sinΔn4
közelítés, majd ismét a szögfüggvények különbségére vonatkozó addíciós tétel segítségével az
sn=4r(sinφn2-sinφn-12)
különbségre vezet. Ha ezeket összeadjuk, a közbülső tagok kiesnek, és az
s(φ)=4r(sinφN2-sinφ02),
vagyis az
s(φ)=4rsinφ2(2)
eredmény adódik.
 
Megjegyzés. A fenti összefüggés nem azt jelenti, hogy a húrokból álló vonal hossza a felosztástól függetlenül megegyezik az ív hosszával, hanem azt, hogy a két hosszúság az alkalmazott közelítésekből következő pontossággal azonos. Márpedig minél finomabb a felosztás, a közelítések annál pontosabbak, így a fenti eredmény egzaktnak tekintendő. Ezért használjuk a  jel helyett a határozott egyenlőséget.

 

Következő lépésként a φ-vel jellemzett ponthoz tartozó α(φ) szöget kell kiszámolnunk. Ehhez tekintsük a φN és a φN-1 pontokat összekötő húr vízszintessel bezárt αN szögét! Nyilván, minél kisebb ΔN, az αN szög annál jobban megközelíti α(φ)-t. Másrészt
tgαN=yN-yN-1xN-xN-1,
ami behelyettesítés után a már ismert közelítéssel és átalakításokkal a
tgαN=tg(φN+φN-14)=tg(φN2-ΔN4)
alakra hozható, amiből egyértelmű, hogy a felosztás finomításával αN egyre pontosabban megközelíti φN/2-t. Így tehát írhatjuk, hogy
α(φ)=φ2.(3)
A (2) és (3) eredményeket az (1) egyenletbe behelyettesítve a ,,rugóállandóra'' a
D=mg4r
értéket kapjuk, tehát (ellentétben a matematikai inga esetével) a cikloispályán a kitérés és a visszatérítő erő aránya a kitéréstől független állandó. Innen a
T=2πmD=2π4rg
képlet alapján az következik, hogy a kérdéses cikloispályán az origó (φ=0) körül súrlódás nélkül ide-oda mozgó test rezgésideje egy =4r hosszúságú matematikai inga (kis kitérésekhez tartozó) lengésidejének felel meg, de a cikloisinga esetében a periódusidő a lengés amplitúdójától független.
 
Megjegyzés. A periódusidő amplitúdófüggetlensége persze nem minden határon túl értendő, hiszen a visszatérítő erőt a gravitáció adja, ennek a természetes felső határa pedig a teljes súly. A kapott (a D rugóállandónak megfelelő) arányossági tényező mellett a legnagyobb visszatérítő erő éppen az s=4r ,,kitéréshez'' tartozik. Ebben a pontban a ciklois érintője függőlegessé válik, de mivel a ciklois fölfelé nem folytatódik, nagyobb kitérésről nincs értelme beszélnünk.

 

 
A cikloispálya létrehozása

Ha azt akarjuk, hogy egy matematikai inga nehezéke ne körpályán, hanem valami más pályán mozogjon, a lengést megfelelően kialakított akadályok közé kell szorítani (3. ábra). Belátható, hogy ha az elérendő pálya ciklois, akkor ‐ furcsa módon ‐ az alkalmazandó akadályprofilok ugyancsak r paraméterű cikloisívek, amelyek az elvárt pályához képest fölfelé 2r távolsággal, oldalra pedig fél periódussal el vannak tolva. Esetünkben ezek egyenlete
x2(ϑ)=r(ϑ-sinϑ),y2(ϑ)=r(3+cosϑ),(-π<ϑ<π).

 

 
3. ábra
 

Azt, hogy ezek a  profilok a (0,4r) pontban felfüggesztett, 4r hosszúságú inga esetében valóban az (x1,y1) pályát szolgáltatják, a következőképpen láthatjuk be. Feküdjön fel az inga fonala a ϑ-val jellemzett pontig! Ez a cikloisívet egy s1 és egy s2 hosszúságú darabra osztja. Mivel ezek összege 4r, az inga szabadon lévő, a cikloistól az érintő irányában elálló, a vízszintessel β szöget bezáró részének hossza is s2. A (2) és (3) egyenletek segítségével:
sinβ=s24r=sin(π-ϑ2).


A lengő súly koordinátái az előző egyenlet és addíciós tételek felhasználásával:
x(ϑ)=x2(ϑ)+s2cosβ=r(ϑ+sinϑ),y(ϑ)=y2(ϑ)-s2sinβ=r(1-cosϑ),
ami valóban a szükséges pálya.
Vajon miért nem találkozunk ilyen ingaórákkal, miért nem ilyennek építették a nagy pontosságú órákat? A válasz egyszerű: az ingaóra pontossága azt jelenti, hogy az ismétlődő lengések ideje a kívánalmaknak megfelelően azonos, márpedig ez biztosított, ha a lengések amplitúdója mindig ugyanakkora. Ezt megoldja az energiaveszteség megfelelő pótlása, nem szükséges tehát, hogy bármilyen amplitúdó mellett ugyanaz legyen a lengésidő.
A Huygens-féle cikloisinga gyakorlati szempontból nem hozott áttörést az igen pontos ingaórákért folyó versenyfutásban, de elméleti érdekessége és matematikai szépsége több, mint három évszázad múltán is kiérdemli csodálatunkat.