Cím: Az n első egész szám p-edik hatványai összegének kiszámításáról
Füzet: 1894/július, 44 - 46. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy az

Sp=1p+2p+3p+...+np,
hatványösszeget képezhessük, néhány segédtételre van szükségünk, melyeket a következőkben levezetünk.
Jelentse f(x) az
Axn+Bxn-1+...+Mx+N
alakú egész függvényét az x-nek. Jelentsék továbbá
f0,f1,...fk1)
a függvény azon értékeit, melyeket ez felvesz, ha x helyébe az x-0,x1,...,xk értékeket helyettesítjük.
Legyen
f0'=f1-f0,f1'=f2-f1,...f'n-1=fn-fn-12)
f0"=f'1-f'0,f''1=f'2-f'1,...f''n-2=f'n-1-f'n-23)
s általánosságban
f0k=f1k-1-f0k14)

A 2)-ből következik, hogy
f1=f0+f'0,f2=f1+f'1,...,fn=fn-1+f'n-15)

ha 3)-at is tekintetbe vesszük, lesz:
f2=f0+2f'0,+f0",f3=f1+2f'1+f1"
s általánosságban
fk=f0+(k1)f'0+(k2)f0"+...+f0k6)
Hogy a 6) helyes, azt úgy bizonyítjuk, hogy megmutatjuk, miszerint helyes marad, ha k helyébe k+1-et írunk. Ugyanis
fk+1=f1+(k1)f'1+(k2)f1"+...+f1k
fk+1=(f0+f'0)+(k1)(f'0+f0")+(k2)(f0"+f0''')+...+f0k+f0k+1
fk+1=f0+[1+(k1)]f0'+[(k1)+(k2)]f''0+...+f0k+1
mely egyenlet a következő alakban írható.
fk+1=f0+(k+11)f'0+(k+12)f0"+...+f0k+1
a közismeretes
(k+1r+1)=(kr+1)+(kr)7)
összefüggésnél fogva.
Legyen
f(x)=xp,ésx0=0,x1=1,ldots,xn=n
akkor a 6)-nál fogva:
xp=f0+x1f'0+x(x-1)12f0"+x(x-1)(x-2)123f0'''++x(x-1)(x-p+1)12pf0p8)
s ha ezen egyenletbe fokozatosan 0,1,2,...n-et helyettesítünk s a nyert eredményeket összeadjuk, a következő eredményt kapjuk:
Sp=f0'1nx1+f0"1nx(x-1)12++f0k1nx(x-1)(x-p+1)12p10)
De
1nx1=(n+12),1nx(x-1)12=(n+13),...,1nx(x-1)(x-p+1)12p=(n+1p+1)
mely képletek igazságát a 7) alatti egyenlet segélyével bizonyítjuk.
Ugyanis
(n+1p+1)=(np+1)+(np)
(np+1)=(n-1p+1)+(n-1p)
(n-1p+1)=(n-2p+1)+(n-2p)
................................................
(p+2p+1)=(p+1p+1)+(p+1p)
(p+1p+1)=1
s így tehát ez utóbbi egyenletek összeadása után
(n+1p+1)=(np)+(n-1p)+(n-2p)++(p+1p)+1=
=1n(xp)=1nx(x-1)(x-p+1)12p.
Lesz tehát a keresett összeg végleges alakja a következő
Sp=(n+1)n12f'0+(n+1)n(n-1)123f0"++
+(n+1)n(n-1)(n-p+1)12(p+1)f0p11)

PÉLDÁK. - Legyen p=1, akkor
f0=0f1=1f2=2f'0=1f1'=1f0"=0

s így tehát
S1=(n+1)n12
Ha p=2, a következő táblázat készítendő
0149135220
és így tehát
S2=(n+1)n12+(n+1)n(n-1)1232=(n+1)(2n+1)6
Ha p=3, képezzük a következő táblázatot
018276417193761218660
és így tehát
S3=n(n+1)n12+(n+1)n(n-1)1236+(n+1)n(n-1)(n-2)12346
vagy továbbá
S3=n(n+1)12[1+2(n-1)+(n-1)(n-2)2]
vagy végre
S3=n(n+1)12n+n22=[n(n+1)12]2.