Cím:	Az 59. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2018/szeptember, 324 - 325. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első nap   1. feladat. Legyen $\Gamma$ a hegyesszögű $ABC$ háromszög körülírt köre. $D$ és $E$ legyenek az $AB$, illetve $AC$ szakaszok olyan pontjai, amelyekre $AD=AE$. A $BD$ és $CE$ szakaszok felezőmerőlegesei a $\Gamma$ kör rövidebb $AB$, illetve $AC$ íveit az $F$, illetve $G$ pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a $DE$ és $FG$ egyenesek párhuzamosak vagy egybeesnek.   2. feladat. Határozzuk meg azokat az $n\ge 3$ egész számokat, amelyekre léteznek $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{n+2}$ valós számok, amelyekre $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle a_i{a}_{i+1}+1=a_{i+2}}\end{array}$ teljesül minden $i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}n$ esetén.   3. feladat. Nevezzük anti-Pascal háromszögnek számoknak egy olyan, szabályos háromszög alakú elrendezését, amelyben az utolsó sorbeli számok kivételével minden szám a közvetlenül alatta lévő két szám különbségénak az abszolút értékével egyenlő. Alább látható egy példa egy olyan anti-Pascal háromszögre, amelynek $4$ sora van, és $1$-től $10$-ig minden egész szám előfordul benne. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 2}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 6}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 7}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \begin{array}{c}\text{ 10 }\end{array}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 9}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Létezik-e olyan anti-Pascal háromszög, aminek $2018$ sora van, és $1$-től $\left(1+2+\text{...}+2018\right)$-ig minden egész szám előfordul benne?   Második nap   4. feladat. Helynek nevezzük a sík minden olyan $\left(x\mathrm{,}y\right)$ pontját, amelyre $x$ és $y$ olyan pozitív egészek, melyek mindegyike kisebb vagy egyenlő, mint $20$. Kezdetben a $400$ hely mindegyike szabad. Anna és Balázs felváltva zsetonokat raknak a helyekre, Anna kezd. Anna minden lépésekor egy új piros zsetont helyez egy még szabad helyre olymódon, hogy semelyik két piros zseton helyének távolsága se legyen $\sqrt[]{5}$-tel egyenlő. Balázs minden lépésekor egy új kék zsetont helyez egy még szabad helyre. (Egy kék zseton által elfoglalt hely távolsága bármely másik foglalt helytől tetszőleges lehet.) A játék akkor ér véget, ha valamelyik játékos nem tud lépni. Határozzuk meg a legnagyobb $K$ értéket, amelyre igaz az, hogy Anna biztosan el tud helyezni $K$ darab piros zsetont, bárhogyan is játszik Balázs.   5. feladat. Legyen $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ pozitív egészeknek egy végtelen sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan $N>1$ egész, hogy minden $n\ge N$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\text{...}+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}}\end{array}$ egész szám. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan $M$ pozitív egész, hogy $a_m=a_{m+1}$ minden $m\ge M$-re.   6. feladat. Az $ABCD$ konvex négyszögre teljesül $AB\cdot CD=BC\cdot DA$. Az $X$ pont az $ABCD$ négyszög olyan belső pontja, amelyre teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle XAB\sphericalangle =XCD\sphericalangle \text{ és }XBC\sphericalangle =XDA\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsuk be, hogy $BXA\sphericalangle +DXC\sphericalangle ={180}^{\circ }$.