Cím: Az 59. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet: 2018/szeptember, 324 - 325. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első nap
 

1. feladat. Legyen Γ a hegyesszögű ABC háromszög körülírt köre. D és E legyenek az AB, illetve AC szakaszok olyan pontjai, amelyekre AD=AE. A BD és CE szakaszok felezőmerőlegesei a Γ kör rövidebb AB, illetve AC íveit az F, illetve G pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a DE és FG egyenesek párhuzamosak vagy egybeesnek.
 
2. feladat. Határozzuk meg azokat az n3 egész számokat, amelyekre léteznek a1,a2,...,an+2 valós számok, amelyekre an+1=a1, an+2=a2 és
aiai+1+1=ai+2
teljesül minden i=1,2,...,n esetén.
 
3. feladat. Nevezzük anti-Pascal háromszögnek számoknak egy olyan, szabályos háromszög alakú elrendezését, amelyben az utolsó sorbeli számok kivételével minden szám a közvetlenül alatta lévő két szám különbségénak az abszolút értékével egyenlő.
Alább látható egy példa egy olyan anti-Pascal háromszögre, amelynek 4 sora van, és 1-től 10-ig minden egész szám előfordul benne.
42657183 10 9
Létezik-e olyan anti-Pascal háromszög, aminek 2018 sora van, és 1-től (1+2+...+2018)-ig minden egész szám előfordul benne?

 
Második nap
 

4. feladat. Helynek nevezzük a sík minden olyan (x,y) pontját, amelyre x és y olyan pozitív egészek, melyek mindegyike kisebb vagy egyenlő, mint 20.
Kezdetben a 400 hely mindegyike szabad. Anna és Balázs felváltva zsetonokat raknak a helyekre, Anna kezd. Anna minden lépésekor egy új piros zsetont helyez egy még szabad helyre olymódon, hogy semelyik két piros zseton helyének távolsága se legyen 5-tel egyenlő. Balázs minden lépésekor egy új kék zsetont helyez egy még szabad helyre. (Egy kék zseton által elfoglalt hely távolsága bármely másik foglalt helytől tetszőleges lehet.) A játék akkor ér véget, ha valamelyik játékos nem tud lépni.
Határozzuk meg a legnagyobb K értéket, amelyre igaz az, hogy Anna biztosan el tud helyezni K darab piros zsetont, bárhogyan is játszik Balázs.
 
5. feladat. Legyen a1,a2,... pozitív egészeknek egy végtelen sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan N>1 egész, hogy minden nN-re
a1a2+a2a3+...+an-1an+ana1
egész szám. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan M pozitív egész, hogy am=am+1 minden mM-re.
 
6. feladat. Az ABCD konvex négyszögre teljesül ABCD=BCDA. Az X pont az ABCD négyszög olyan belső pontja, amelyre teljesül
XAB=XCD  és  XBC=XDA.
Bizonyítsuk be, hogy BXA+DXC=180.