A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 7. Egy geometriai nagyágyú Az eddigi temérdek analízis és algebra után következzen most egy geometriai okoskodás, amelynek ötlete a [10] cikkből származik és egy ‐ a versenyfeladatokon edződöttek számára vélhetően jól ismert ‐ nevezetes geometriai egyenlőtlenségre támaszkodik. (Az alábbiakban kissé pongyolán sokszög oldalának mérőszáma helyett egyszerűen az oldalról fogunk beszélni.)
7.1. tétel (Ptolemaiosz-egyenlőtlenség) A síkon bármely konvex négyszögben a szemközti oldalak szorzatának összege legalább akkora, mint az átlók szorzata. Egyenlőség csakis húrnégyszögben teljesül.
Bizonyítás. Tekintsük a 9. ábrán látható konvex négyszöget, amelynek oldalai , , , , az átlói pedig , . Ekkor azt kell igazolnunk, hogy Emeljünk a oldalra a háromszöggel hasonló háromszöget úgy, hogy és (más szóval alkalmazzunk középpontú forgatva nyújtást az háromszögre úgy, hogy képe legyen). A hasonlóság aránya , ezért és . Vegyük észre, hogy ekkor a és háromszögek szintén hasonlók, mert és . Következésképpen , vagyis . Mivel az háromszögben az és oldalak összege legalább akkora, mint , így amiből -vel való beszorzás után éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség adódik. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az háromszög elfajuló, azaz . Ez azt jelenti, hogy az négyszögben a és csúcsoknál lévő belső szögek összege , tehát húrnégyszög.
9. ábra
7.2. történeti megjegyzés. Klaudiosz Ptolemaiosz a Kr. e. II. századi Alexandriában élt matematikus, csillagász, földrajztudós, a geocentrikus ‐ a Földet a világegyetem középpontjának tekintő ‐ világkép megalkotója. Az Almageszt című műve az ókori csillagászat legfontosabb tudományos forrása, amely a benne található trigonometriai számítások szempontjából is kiemelkedő jelentőségű. Ebben igazolta Ptolemaiosz többek között azt, hogy húrnégyszögben az átlók szorzata a szemközti oldalak szorzatainak összege.
7.3. megjegyzés. E kicsit talán hosszabb lélegzetvételűre nyúló megjegyzésben a Ptolemaiosz-egyenlőtlenség bizonyítása kapcsán hívjuk fel a figyelmet néhány észrevételre, általánosításra. Első olvasáskor nyugodtan a hómezős feladat megoldásához lehet ugrani. Az előbbi bizonyítás apró finomításával nem nehéz igazolni (lásd [5, 12.14. feladat]), hogy tetszőleges , , , síkbeli pontnégyesre igaz ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a négy pont egy körön (vagy egyenesen) helyezkedik el és azon az pontpár elválasztja a pontpárt. Sőt, megmutatható, hogy bármely nem egy síkban fekvő pontnégyes esetén szigorú egyenlőtlenség áll fenn (erről lásd a [12] könyv 5.8. szakaszát). A Ptolemaiosz-egyenlőtlenségnek a fentitől különböző, a Simson-egyenes bizonyos tulajdonságára épülő bizonyítása olvasható a [2] könyvben. Számos feladat között böngészhetünk a [6] írásban, ahol az egyenlőtlenség egy általánosítása a Casey-tétel, amelyben a csúcsok szerepét érintő körök, az oldalakét pedig érintők veszik át ugyancsak terítékre kerül. Végül nem tudunk ellenállni a kísértésnek, hogy röviden szót ejtsünk a Ptolemaiosz-egyenlőtlenség komplex számok segítségével történő igen elegáns igazolásáról. Tekintsük az , , , pontoknak megfelelő , , , komplex számokat a komplex számsíkon (lásd 10. ábra), azaz például , ahol a valós, pedig a képzetes rész.
10. ábra A komplex számok közötti szorzás a valós számok szorzásához hasonlóan viselkedik figyelembevételével: | | Induljunk ki most a könnyen ellenőrizhető | | (7.1) | azonosságból. Vegyük észre (ismét lásd a 10. ábrát), hogy és az , átlóvektorok, továbbá és , illetve és rendre a és , illetve és szemközti oldalvektorok. Ekkor (7.1) mindkét oldalán abszolút értékét véve, majd alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget: | | ami éppen a Ptolemaiosz-egyenlőtlenség. Az egyenlőség esetét egyáltalán nem nyilvánvaló kiolvasni a bizonyításból, ebben az úgynevezett kettősviszony segíthet, bővebben lásd például [11, 31. feladat], [12, 12.5. szakasz], ahol a komplex számok egyéb geometriai alkalmazásáról is olvashatunk.
A hómezős feladat megoldása. Ennyi előkészület után térjünk vissza a hómezős feladat megoldására, most a Ptolemaiosz-egyenlőtlenség segítségével. Tekintsük a 11. ábrát, ahol legyen a szakasz azon pontja, amelyre (a korábbiak fényében tudjuk, hogy ez fogja adni a minimumot). Rajzoljuk meg az , és pontokon átmenő kört, amelynek középpontja legyen , sugara pedig , és a pontban a szakaszra állított merőleges egyenes messe a kört az pontban.
11. ábra A Thalész-tétel miatt ekkor átmérő a körben, tehát . Másrészt a kerületi és középponti szögek tétele miatt ( és fordított állásúak), vagyis az egyenlő szárú háromszög szabályos, így . Ha a szakasz tetszőleges pontja, akkor az konvex négyszögben a Ptolemaiosz-egyenlőtlenség szerint azaz Minthogy átfogó az (esetleg elfajuló) derékszögű háromszögben, ezért , így ahol a jobb oldal a pont választásától független állandó. Egyenlőség pontosan akkor van, ha húrnégyszög, vagyis . Ezzel sokadjára beláttuk, hogy az (1.2) kifejezés minimumhelyét a pont adja, tehát a gyalogosnak itt kell kimennie az országútra. Akiknek elnyerte tetszését a húrnégyszögek világa, azok a [3] könyvben indulhatnak a meghódításukra, ezenkívül pedig ajánljuk a szakaszban már korábban említett [2, 6, 11, 12] olvasnivalókat.
Zárásként a hómezős feladatot mechanikai köntösbe bújtatjuk, amelynek ötlete Pólya György ‐ világhírű matematikus, a matematikai gondolkodás és problémamegoldás tudományának kiemelkedő tanár- és tudósegyénisége ‐ [9] könyvének 9. fejezetében is szerepel, ahol számos egyéb szélsőérték-feladat fizikai szemléletű megoldása olvasható élvezetes stílusban. Képzeljük el, hogy a 12. ábrán látható módon a vízszintes helyzetű (tökéletesen merev) rúdra felfűzve szabadon (súrlódásmentesen) csúszhat a gyűrű. A gyűrűhöz egy és egy (elegendő) hosszúságú (nyújthatatlan) kötelet kötünk, amelyeket rendre az és pontokban rögzített csigákon átvetünk, majd ezután a , illetve végükre egy , illetve súlyú testet helyezünk, ahol a súlyok arányát később választjuk meg. (A szokásos módon a gyűrűt, a csigákat és a súlyokat is pontszerűnek tekintjük, a kötél súlyát és a súrlódást pedig elhanyagoljuk.)
12. ábra Magára hagyva a rendszert egy idő után beáll az egyensúlyi helyzetébe, amelyben a helyzeti energiája minimális. A rudat véve a viszonyítási szintnek a súlyú test magasságban található, ezért a helyzeti energiája ; ehhez hasonlóan a súlyú test helyzeti energiája . A rendszer helyzeti energiája tehát a kifejezés ellentettje, amely akkor lesz a lehető legkisebb, ha maximális. Minthogy és , , ezért
Itt az mennyiség állandó, így egyensúlyi helyzetben az kifejezés minimális. Ha most a súlyok arányát úgy választjuk meg, hogy , akkor a kifejezés minimumhelye adja egyensúly esetén a pont helyzetét. De ez (1.1) alapján éppen megegyezik a hómezős feladatbeli út megtételéhez szükséges idővel, ha . Így tehát a mechanikai problémabeli egyensúlyi helyzet megfelel a hómezős feladat időben legrövidebb útjának. Szerencsére a mechanikai rendszer egyensúlyi helyzetét nemcsak energiákkal, hanem a gyűrűre ható erők eredőjének segítségével szintén jellemezhetjük, ezáltal a minimumhely egy másik leírását nyerjük. Tudjuk, hogy egyensúlyi helyzetben a gyűrűre ható erők kiegyenlítik egymást. Mivel a súlyok húzását a kötelek és a csigák változatlanul közvetítik, ezért a gyűrűre egy és egy nagyságú erő hat a két kötél irányában, lásd a 13. ábrát. A gyűrű nyugalomban van, így ezen két erő vízszintes összetevői semlegesítik egymást (függőlegesen pedig a rúd merevségéből származó erő ellensúlyozza a nagyságú erő hatását). Ha , akkor az csiga irányában ható erő vízszintes kompenense nagyságú. A csiga irányában a vízszintes nagyságú erő hat, így szükségképpen vagyis , tehát . Ez azt jelenti, hogy egyensúlyi helyzetben , és az előbb meggondoltak tükrében a hómezős feladatban szintén ez a pont szolgáltatja az időben legrövidebb utat.
13. ábra A fizika matematikai alkalmazásaira további meglepő példákat láthatunk a [8] könyvben, ahol a hómezős feladat optikai és mechanikai megközelítéséről is bővebben olvashatunk. Ajánljuk továbbá az [1] cikket, amely elektromos ellenállások hálózatait hívja segítségül különböző egyenlőtlenségek, köztük a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igazolásához.
9. Irány Kukutyin és Piripócs A cikk elején beharangozott megoldások sora véget ért, de a lehetséges okoskodások tárháza alighanem kimeríthetetlen. Érdemes tovább keresgélni és a közöttük lévő kapcsolatokat feltérképezni, valamint megvizsgálni, mi a helyzet abban az esetben, ha a gyalogos sebessége -szer () akkora az országúton, mint a hómezőn (az országúton akár lassabban is mehet). Egy általánosítási lehetőség az érdeklődő és elszánt Olvasók számára a következő.
Feladat. Kukutyin és Piripócs egy egyenes autópálya két különböző oldalán helyezkedik el (lásd 14. ábra). Az autópálya egy pontjából leágazásokat építenek a két városhoz. Az építési költség Kukutyin felé -szer akkora, mint Piripócs felé (ahol ). Hol legyen az pont, hogy az útépítés összköltsége minimális legyen?
14. ábra
A eset megoldása nyilvánvaló, mert ekkor a szakasz hosszban a legrövidebb, tehát a költsége minimális. Ez a feladat függvénytani álruhában a márciusi emelt szintű feladatsor 4. feladata volt (és például a 2009/2010-es tanévi Arany Dániel Matematikai Tanulóversenyen a kezdők I‐II. kategória második fordulójában is szerepelt, a megoldásában a (6.2) egyenlőtlenség ugyancsak felbukkant, lásd a feladatsort és a megoldást a [13] weboldalon). Próbáljunk meg a hómezős feladatnak a KöMaL áprilisi számában és e cikkben közölt megoldásai közül minél többet a fenti feladatra általánosítani. Ezek közül a differenciálszámítást használó okoskodás olvasható a [7] könyv 11.49. Példájában; a mechanikai érvelés a [9] könyv 9. fejezetében; a Ptolemaiosz-tételre épülő megoldás a [10] cikkben; a Cauchy‐Bunyakovszkij‐Schwarz-egyenlőtlenséget alkalmazó pedig a [4] cikkben, ahol ezenfelül egy, a fény hullámtermészete által motivált, Huygenstől eredő geometriai megoldás is található. Izgalmas kalandozást kívánunk az ötletek rengetegében!
Köszönetnyilvánítás. A szerző köszönettel tartozik Kovács Balázsnak és Gnädig Péternek a kézirathoz fűzött értékes megjegyzéseikért.
[2] | H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Az újra felfedezett geometria, Gondolat, Budapest, 1977. |
[3] | Gerőcs L., A húrnégyszögek meghódítása, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2010. |
[4] | M. Golomb, Elementary Proofs for the Equivalence of Fermat's Principle and Snell's Law, Amer. Math. Monthly, Vol. 71, No. 5 (May, 1964), 541‐543., http://www.jstor.org/stable/2312599. |
[7] | Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Valós Analízis I., TypoTeX, Budapest, 2012. |
[8] | M. Levi, The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2009. |
[9] | Pólya György, Indukció és analógia (A matematikai gondolkodás művészete 1.), Gondolat, Budapest, 1988. |
[10] | D. Pedoe, A Geometric Proof of the Equivalence of Fermat's Principle and Snell's Law, Amer. Math. Monthly, Vol. 71, No. 5 (May, 1964), 543‐544., http://www.jstor.org/stable/2312600. |
[11] | Reiman István, Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon, 3. kiadás, Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. |
[12] | Reiman István, Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft., 1999. |
|