Cím: Séta a havon ‐ az ezerarcú feladat 1.
Szerző(k):  Besenyei Ádám 
Füzet: 2016/november, 455 - 461. oldal  PDF file
Hivatkozás(ok):2016/december: Séta a havon ‐ az ezerarcú feladat 2.
2017/január: Séta a havon ‐ az ezerarcú feladat 3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A változatosság gyönyörködtet ‐ tartja a mondás. Egy matematikai probléma szépségét például gyakorta a megoldáshoz vezető utak sokszínűsége és egymásba fonódása adja. A különféle nézőpontok szerepet játszhatnak a mélyebb megértésben és egymástól távolinak tűnő területek összekapcsolásában, amint ennek a KöMaL hasábjain sűrűn szemtanúi lehetünk. Írásunkban is éppen a megoldások roppant gazdagságának érzékeltetését tűzzük ki célul, méghozzá a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika munkaközössége által összeállított és a 2016. márciusi számban megjelent, az emelt szintű matematika érettségire való gyakorlást szolgáló feladatsor egy szélsőérték-feladata kapcsán.

 
Feladat. Egy gyalogos a hóval borított mező A pontjában van, 3 kilométernyire a BC egyenes úttól (az 1. ábrán AB=3 km, BC=10 km). Az országúton a gyalogos kétszer akkora sebességgel halad, mint a hómezőn. Mely D pontban kell kimennie a gyalogosnak az útra, hogy a legrövidebb idő alatt jusson el C-be?


 

1. ábra
 

 
Az áprilisi számban a kitűzők igazán tetszetős módon négy különböző megoldását mutatták be az iménti feladatnak: egy algebrai, egy függvénytani és egy elemi geometriai utat, valamint az optika Snellius‐Descartes-féle fénytörési törvényén alapuló fizikai szemléletű megközelítést. Célunk, hogy mindezt megtoldjuk további megoldásokkal, segítségül hívva nevezetes egyenlőtlenségeket és a mechanikát. Felbukkan a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség, a Cauchy‐Bunyakovszkij‐Schwarz-egyenlőtlenség, valamint a húrnégyszögek Ptolemaiosz-egyenlőtlensége. Szó esik ezenkívül még az Euler-féle helyettesítésekről, négyzetszámok táblázatairól, hullámfrontokról, erők eredőjéről és mindemellett a matematikatörténeti érdekességek sem maradnak el. Közben pedig számos töprengési lehetőséget és bőséges olvasnivalót kínálunk az érdeklődő Olvasó számára. Javasoljuk, hogy a továbbhaladás előtt próbálkozzon meg minél többféle megoldás önálló kigondolásával, majd ezután az áprilisi szám megfelelő oldalaira ugyancsak érdemes visszalapoznia. A megoldások színes és szerteágazó sokaságán keresztül remélhetőleg feltárulnak a feladat rejtett kincsei és alkalom nyílik a gyönyörködésre.
 
1. Kezdeti lépések a havon

Jóllehet a feladat szövege és az 1. ábra is azt sugallja, hogy a D pontnak a BC szakaszon kell lennie, mindenesetre nem árt meggondolnunk, hogy az időben legrövidebb út szempontjából a BC egyenes többi pontját kizárhatjuk. Valóban, ha a 2. ábrán látható módon a D1 pont a BC egyenesen B-től balra van, akkor nyilván BC<D1C, továbbá az ABD1 derékszögű háromszögben AD1 átfogó, ezért AB<AD1. Következésképpen az ABC töröttvonal mindkét szakasza rövidebb az AD1C töröttvonal megfelelő szakaszainál, így a megtételükhöz is kevesebb idő kell, tehát van az AD1C töröttvonalnál időben rövidebb út. Amennyiben egy, a C-től jobbra eső D2 pontot tekintünk, akkor D2CA tompaszög (miért?), emiatt a D2CA háromszögben AD2 a leghosszabb oldal, így már önmagában az AD2 út megtétele több időbe telik, mint egyszerűen az AC szakaszon végigmenni.


 

2. ábra
 

Ezek után legyen a gyalogos sebessége a hómezőn v, az országúton pedig 2v (ahol v>0), ekkor az ADC töröttvonal út megtételéhez szükséges idő:
ADv+DC2v=1v(AD+DC2).(1.1)
Világos, hogy a minimum helyének szempontjából v nem játszik szerepet, ezért elég csupán a zárójelben lévő kifejezést vizsgálni (más szóval feltehető v=1), amelyet írjunk fel a D pont B-től (km-ben) mért távolságának függvényében a KöMaL áprilisi számában közölt első megoldáshoz hasonlóan.
Ha BD=x, ahol 0x10, akkor DC=10-x, továbbá az ADB derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel alapján AD=x2+9, így
AD+DC2=x2+9+10-x2.(1.2)
Elegendő tehát az
f(x):=x2+9+10-x2(1.3)
függvény minimumának helyét megkeresni 0x10 esetén. Az áprilisi szám 204‐206. oldalain erre két okoskodást olvashattunk: az egyik egy másodfokú paraméteres egyenlet diszkriminánsának vizsgálatára vezeti vissza a kérdést, a másik pedig differenciálszámítás segítségével adja meg a szélsőértékhelyet. Most az (1.3) hozzárendelési szabályban szereplő négyzetgyök kiküszöbölésére először egy rafinált helyettesítést mutatunk.
 
2. Egy ravasz gondolat

A szakasz gondolatmenete a ,,hómezős'' feladattal együtt megtalálható Hódi Endre (1923‐2003) ‐ aki sok éven át a matematikai diákolimpiai csapat kísérője és a tehetséggondozás aktív szereplője volt ‐ szélsőérték-feladatok elemi megoldásáról szóló remek könyvecskéjében (lásd [2, 109‐112. feladat]). A megoldásnak erre az ötletére e sorok írójának figyelmét Németh József, a szegedi Bolyai Intézet kitűnő oktatója hívta fel, aki a mindennapi életben előforduló szélsőérték-problémákról tartott előadásában a hómezős feladat olajvezeték építési költségének minimalizálására átfogalmazott változatát (lásd [5, 8. feladat]) oldotta meg az egykori mesterétől, ‐ a nemzetközileg kiemelkedő matematikus és tanáregyéniség ‐ Kalmár Lászlótól (1905‐1976) tanult elemi módszerrel. Lássuk az ötletet!
Célunk, hogy az (1.3) kifejezésben szereplő négyzetgyök használatát egy ügyes helyettesítéssel elkerüljük. Ehhez induljunk ki a jól ismert
(u+v)2-(u-v)2=4uv(2.1)
algebrai azonosságból. Ha most v=14u, akkor ebből átrendezés után
(u-14u)2+1=(u+14u)2
adódik. Még praktikusabb, ha az iménti összefüggés 9-szeresét tekintjük:
[3(u-14u)]2+9=[3(u+14u)]2,(2.2)
hiszen ez nyomban az x=3(u-14u) vagy x=-3(u-14u) helyettesítést sugallja. Ekkor ugyanis u>0 feltételezésével (2.2) alapján
x2+9=3(u+14u).(2.3)
Ha például az
x=3(u-14u)(2.4)
helyettesítést választjuk, akkor
x2+9+10-x2=3(u2+38u)+5.(2.5)
Ezáltal a minimalizálandó kifejezésünk egy csapásra olyan alakot öltött, amely tálcán kínálja a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alkalmazását: tetszőleges u pozitív számra
3(u2+38u)+532u238u+5=332+5.(2.6)
Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha u/2=3/(8u), ahonnan u>0 folytán u=3/2 következik, és ekkor a (2.4) helyettesítés értelmében x=3. Mivel ez megfelel a 0x10 kívánalomnak, így a (2.5) és (2.6) összefüggések figyelembevételével azt kapjuk, hogy az f függvény a [0,10] intervallumon a minimumát az x=3 pontban veszi fel (és a minimum értéke 33/2+5).
Álljunk csak itt meg egy pillanatra, biztosan nem felejtettünk el semmit az előbbi gondolatmenetben? Hogyan is okoskodtunk? Meghatároztuk a (2.5) azonosság jobb oldalának minimumhelyét a pozitív u számok halmazán és ebből a bal oldali kifejezés 0x10 esetén vett minimumának helyére következtettünk. De milyen x értékekre érvényes egyáltalán a szóban forgó (2.5) azonosság? Olyan x valós számokra, amelyek előállnak (2.4) alakban valamilyen u>0 esetén. Vajon előáll minden x[0,10] szám ilyen módon? Nem fordulhat elő, hogy ,,bizonyos'' x[0,10] számok esetleg nem írhatók fel (2.4) alakban és ráadásul ezekre az x-ekre f kisebb értéket vesz fel, mint a 3 pontban? Szerencsére a (2.4) összefüggés u-ra nézve valójában egy másodfokú egyenletre vezet, így gond nélkül megoldhatjuk:
u1=16(x+x2+9)ésu2=16(x-x2+9).
Minthogy tetszőleges xR esetén x2+9>x2=|x|=max{x,-x} (egy x szám abszolút értéke x és (-x) közül a nemnegatív, vagyis a nem kisebbik), ezért u1>0, u2<0. Ez azt jelenti, hogy bármely x valós számhoz egyértelműen létezik olyan u pozitív szám (és ezenfelül egy negatív is), amellyel x előáll (2.4) alakban, mégpedig
u=16(x+x2+9),(2.7)
következésképpen a (2.4) helyettesítés egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést ‐ más szóval bijekciót ‐ ad meg a valós és a pozitív valós számok halmaza között (és emellett a valós és a negatív valós számok között is). A szemfülesebbek minderre természetesen a (2.3) és (2.4) összefüggések tükrében egyenletmegoldás nélkül is következtethetnek, az analízisben jártasak pedig akár elvégezhetik az uu-14u függvény teljes vizsgálatát.
Összefoglalva, a (2.5) azonosság érvényes minden 0x10 esetén valamely u>0 számmal, ezért csakugyan helyesen következtettünk a bal oldal minimumának helyére a jobb oldal pozitív számokon vett minimumhelyéből, így az f függvény a [0,10] intervallumon a legkisebb értékét az x=3 pontban veszi fel. A gyalogosnak tehát a B-től 3 km-re lévő D pontban kell kimennie az országútra, hogy a legrövidebb idő alatt érjen a C pontba.
 
2.1. megjegyzés. Ha (2.4) helyett x=-3(u-14u), akkor u>0 folytán
u=16(x2+9-x),(2.8)
és ennek segítségével az előzőekhez hasonlóan vizsgálhatjuk az f függvényt. Sőt, a (2.1) azonosságban v=14u helyett választhatunk más u, v párokat, a lényeg csupán, hogy a 4uv=1 összefüggés fennálljon ‐ a különféle esetek mélyrehatóbb vizsgálatát az Olvasóra bízzuk.
A (2.7) vagy (2.8) helyettesítésekre rábukkanhatunk úgy is, ha a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség lebeg a szemünk előtt. A megfelelő alsó becslés érdekében ekkor olyan mennyiségeket célszerű felfedeznünk az f függvény (1.3) alakjában, amelyek szorzata állandó. És lám:
(x2+9+x)(x2+9-x)=(x2+9)2-x2=9.
Mindezek a helyettesítések valójában már nagyon régen felbukkantak a matematikában, erről a következő szakaszban mesélünk.
 
3. Pihenő: négyzettáblázatok, Euler-helyettesítések

Ebben a részben egy csöppet még elidőzünk a (2.1) azonosság, valamint a (2.7), (2.8) helyettesítésekkel kapcsolatban felmerülő érdekességek és történeti háttér mentén. Mindez nem feltétlenül tartozik szorosan a megoldások folyamába, ezért első olvasásra nyugodtan a következő szakaszra lehet ugrani.
 
Szorzás és négyzetre emelés. Kezdjük először a (2.1) azonossággal, amelyet úgy is írhatunk, hogy
(u+v2)2-(u-v2)2=uv.(3.1)
Ez azt fejezi ki, hogy két szám szorzatának kiszámítása megfelelő értelemben visszavezethető négyzetre emelésekre. Első ránézésre a formula összetettnek tűnik, ám nagy számok esetén hatékonyabb módszert adhat a szorzás közvetlen elvégzésénél. Ezt a 19. század elejétől kezdve többen felismerték és készítettek az egész számok négyzeteihez kapcsolódó táblázatokat. Jakob Philipp Kulik (1793‐1863) osztrák matematikus 1851-ben például az 1-től 29 999-ig terjedő egész számok négyzeteinek 1/4-szeresét foglalta táblázatba. Erről bővebben olvashatunk a [6] cikkben, ezenkívül a [7] weboldalon számos, az 1500-as évektől kezdődően készült, a kézi számolást segítő táblázatot tanulmányozhatunk. Természetesen a modern számítógépek elterjedésével ezek a táblázatok ‐ ahogyan a középiskolai négyjegyű függvénytáblázat különböző számtáblázatai ‐ fokozatosan jelentőségüket vesztették.
A szorzás négyzetre emelésre való visszavezetése nemcsak a konkrét számolásokat teheti könnyebbé, hanem elméleti okoskodásokban szintén hasznunkra válhat. Ha összeadás, kivonás, számmal való szorzás, valamint négyzetre emelés során megőrződik valamely tulajdonság ‐ ezt sok esetben könnyű igazolni ‐, akkor ezt a tulajdonságot általában a szorzás ugyancsak megtartja. Ily módon is igazolható például, hogy két konvergens sorozat szorzatának határértéke a két sorozat határértékének szorzata, vagy bizonyítható a differenciálható függvények szorzatának deriválására vonatkozó Leibniz-formula, vagy éppen két Riemann-integrálható függvény szorzatának integrálhatósága ‐ többek között Kalmár László szintén így szerette tanítani, lásd a [3] tankönyvének megfelelő részeit. Illusztrációképpen álljon itt a szorzat deriválási szabályának a (2.1) azonosságra támaszkodó szellemes bizonyítása: ha már tudjuk, hogy tetszőleges f,g:RR differenciálható függvényekre és λ valós számra (f+g)'=f'+g', (λf)'=λf', valamint (f2)'=2ff', akkor
(fg)'=((f+g2)2-(f-g2)2)'==2f+g2f'+g'2-2f-g2f'-g'2=f'g+fg'.
Megemlítjük, hogy Gottfried Wilhelm Leibniz (1646‐1716) német filozófus és matematikus ‐ a differenciál- és integrálszámítás felfedezője Newton mellett ‐ 1675. november 11-ei kéziratában még tévesen úgy vélte, hogy szorzat deriváltja a tényezők deriváltjainak szorzata, ám tíz napra rá már tudta a helyes összefüggést (Leibnizről bővebben lásd az [1] könyv megfelelő fejezetét).
 
Euler és a helyettesítések. A (2.7) vagy (2.8) helyettesítésekre visszakanyarodva érdemes kiemelnünk, hogy ezeket Leonhard Euler (1707‐1783) svájci matematikus ‐ a matematikatörténet egyik legsokoldalúbb és legtermékenyebb géniusza ‐ részletesen tárgyalta 1748-ban kiadott Introductio in analysin infinitorum (Bevezetés a végtelenek analízisébe) című kétkötetes művében, amelyben összefoglalta mindazt, ami szerinte az elenyészően kis mennyiségek analíziséhez szükséges. Az első kötet 3. fejezetében Euler többek között az y(x)=ax2+bx+c alakú négyzetgyökös kifejezések racionális törtfüggvénnyé (azaz két polinom hányadosává) való alakításához adott meg helyettesítéseket. Ha a p(x)=ax2+bx+c másodfokú polinom mindenhol pozitív értékű, akkor szükségképpen a>0 és c=p(0)>0, és ekkor az
u=ax2+bx+c-axvagyu=ax2+bx+c-cx(3.2)
új változókat vezette be Euler, amelyekre napjainkban Euler-féle helyettesítésekként szokás hivatkozni. Valójában mindkét képletben különbség helyett összeg is vehető, és így az elsőből lényegében megkapjuk a (2.7), (2.8) helyettesítéseket. Az Olvasó számára javasoljuk annak ellenőrzését, hogy ezekkel a helyettesítésekkel y az u változónak valóban racionális törtfüggvényévé válik (voltaképpen mindezt végigcsináltuk a 2. szakaszban y helyett az f függvénnyel). Azon szintén érdemes eltűnődni, hogy vajon milyen helyettesítést javasolt Euler abban az esetben, amikor az ax2+bx+c polinomnak két valós gyöke van. Ezután ugyancsak megéri Euler eredeti művébe belepillantani, amely mai szemmel is kiválóan érthető (az összes művei különféle fordításokban olvashatók a [8] weboldalon). Módszerei és meglátásai közül ‐ amint a fenti példa jól mutatja ‐ számtalan mindörökre beépült a matematikai gondolkodásba (Eulerről bővebben olvashatunk az [1] könyvben).
A (3.2) helyettesítések talán ismerősek lehetnek az integrálszámításban jártasak számára, hiszen ott gyakran van szükség négyzetgyökös, a x2+1 kifejezést tartalmazó integrálok kiszámítására. Persze, az
u=x2+1-x,azazx=u-1u2
új változó bevezetésénél túlnyomórészt a sokkal kényelmesebb úgynevezett hiperbolikus függvényeket használjuk, vagyis
x=et-e-t2=sht,
ahol sh a szinusz hiperbolikusz függvény. A x2-1 alakú kifejezés pedig
x=u+1u2vagyx=et+e-t2=cht
helyettesítésekkel ,,racionalizálható'', ahol ch a koszinusz hiperbolikusz függvény, amelynek grafikonját láncgörbének szokás hívni, ugyanis ahhoz hasonló alakot vesz fel a két végén felfüggesztett lánc. (A szinusz és koszinusz hiperbolikusz függvényekről annyit máris tudunk, hogy ch2t-sh2t=1, ami nem más, mint a (3.1) összefüggés egy újabb megnyilvánulási formája.) Végül pedig a 1-x2 alakú kifejezés esetén a trigonometrikus x=sint vagy x=cost helyettesítés lehet a leginkább célravezető. Mindezekről (beleértve a láncgörbét) a [4] tankönyvben teljes részletességgel olvashatunk.
 
Hivatkozások

[1]Sz. G. Gingyikin, Történetek fizikusokról és matematikusokról, Harmadik kiadás, Typotex, Budapest, 2012.
[2]Hódi Endre, Szélsőérték-feladatok elemi megoldása, 3. kiadás, Typotex, Budapest, 1998.
[3]Kalmár László, Bevezetés a matematikai analízisbe I‐II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1982.
[4]Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Valós Analízis I., TypoTeX, Budapest, 2012.
[5]Németh József, Szélsőérték-problémák a mindennapi életben,
http://www.math.u-szeged.hu/~nemethj/orosh13.pdf.
[6]D. Roegel, A reconstruction of Kulik's table of multiplication (1851),
http://locomat.loria.fr/kulik1851/kulik1851doc.pdf.
[7]Loria Collection of Mathematical Tables, http://locomat.loria.fr.
[8]Euler Archive, http://eulerarchive.maa.org.