Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2010/október, 402 - 403. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Hajtsuk végre a következő utasításokat. Egy tetszőleges kétjegyű számnak vegyük a tízszeresét. Az így kapott számhoz adjunk hozzá egy tetszőleges számjegyet. Ennek az összegnek vegyük a százszorosát, majd adjuk hozzá az eredeti kétjegyű számot. Az ekkor kapott számból vegyük el a tetszőleges számjegy kétszeresét. A különbségnek vegyük a hetedét. Igazoljuk, hogy az eljárás végén mindig egész számot kapunk.  (11 pont)   2. Határozzuk meg a $p$ értékét úgy, hogy a következő egyenletnek legyen valós gyöke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-2010x-2011}+\sqrt[]{x^2+2011x+2010}+\sqrt[]{x^2-p^2}=0.}\end{array}$  (12 pont)   3. Adott a koordinátarendszerben öt pont: $A\left(7;-1\right)$, $B\left(-2;2\right)$, $C\left(-1;5\right)$, $D\left(6;6\right)$, $E\left(7;6\right)$. $a)$ Adjuk meg azt a $P$ pontot (ha van ilyen), amelyre $PA=PB=PC=PD$. $b)$ Igazoljuk, hogy nincs olyan pont, amely az $A$, $B$, $C$ és $E$ pontoktól egyenlő távolságra található.  (14 pont)   4. Az $f\left(x\right)$ másodfokú függvény esetén minden valós $x$-re teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)+f\left(x+1\right)+1=2\cdot \left(f\left(x\right)+x+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Adjuk meg $f\left(8\right)-f\left(4\right)$ értékét.  (14 pont)   II. rész   5. Egy színpadi díszletet a díszlettervező egy $\text{1 m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>×</mo></math>2,5 m}$-es préselt lemezből szeretné kivágatni. A lapra 1 dm-es beosztással rácsot rajzolnak, a téglalap hosszú középvonalának egyenesét $y$, az erre merőleges egyik oldal egyenesét pedig $x$ tengelynek tekintik. Berajzolják az $x\mapsto 25-x^2$ hozzárendelésű függvény rácspontjait. A rácspontokat összekötő egyenes szakaszok mentén kifűrészelik azt a konvex sokszöget, amelynek egyik oldala az eredeti téglalap egyik oldalával egybeesik. Hány $\text{d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-rel kapnának nagyobb területű síkidomot, ha a függvény görbéje mentén tudnának fűrészelni?  (16 pont)   6. Az $f\left(x\right)=|x-1|+|x-5|-4$ hozzárendeléssel megadott függvény jó közelítéssel egy középszakasz jellegű folyó keresztmetszetét adja. A koordinátarendszer egysége a valóságban 1 métert jelent. Tudjuk, hogy a folyó sebessége $1\mathrm{,}2\frac{\text{m}}{\text{s}}$, a vízállás pedig 4 méteres. $a)$ Mekkora mennyiségű víz halad keresztül a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt? $b)$ Hány százalékkal csökken a folyó vízhozama, ha a vízszint 2 méternyit apad? $c)$ Mennyivel csökken a vízszint az eredetihez képest, ha a híradások szerint a folyó vízhozama a felére esett vissza?  (16 pont)   7. A négyzetszámokat háromszög alakzatba rendezzük az alábbiak szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 9}\hfill & \hfill {\displaystyle 16}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 25}\hfill & \hfill {\displaystyle 36}\hfill & \hfill {\displaystyle 49}\hfill & \hfill {\displaystyle 64}\hfill & \hfill {\displaystyle 81}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle 100}\hfill & \hfill {\displaystyle 121}\hfill & \hfill {\displaystyle 144}\hfill & \hfill {\displaystyle 169}\hfill & \hfill {\displaystyle 196}\hfill & \hfill {\displaystyle 225}\hfill & \hfill {\displaystyle 256}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{...}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Melyik szám áll a 13. sor 7. helyén? $b)$ Hol található a 66 049? $c)$ Mennyi a 24. sorban lévő számok összege?  (16 pont)   8. Hat darab $\sqrt[]{3}$ és hat darab 4 hosszúságú szakaszt valamilyen sorrendben úgy rakunk egymáshoz, hogy a végén egy húrtizenkétszög alakuljon ki. Mekkora a tizenkétszög köré írt kör sugara?  (16 pont)   9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne 12 órás és 6 órás jegy. A 12 órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a 6 órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne 3 órás jegy 350 Ft-ért, 6 órás jegy 600 Ft-ért, 9 órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek 150 látogatót és a következő gyakoriság adódott:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{időtartam (h)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0‐1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1‐2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2‐3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3‐4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4‐5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5‐6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6‐7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7‐8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8‐9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9‐10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10‐11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11‐12}}\hfill \\ {\displaystyle \text{gyakoriság (fő)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{18}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{25}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{26}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{20}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{16}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint? $b)$ Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint? $c)$ Egy harmadik változatban 4, 8 és 12 órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára 10-zel osztható?  (16 pont)