Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2010/október, 402 - 403. oldal  PDF file

I. rész
 

1. Hajtsuk végre a következő utasításokat. Egy tetszőleges kétjegyű számnak vegyük a tízszeresét. Az így kapott számhoz adjunk hozzá egy tetszőleges számjegyet. Ennek az összegnek vegyük a százszorosát, majd adjuk hozzá az eredeti kétjegyű számot. Az ekkor kapott számból vegyük el a tetszőleges számjegy kétszeresét. A különbségnek vegyük a hetedét.
Igazoljuk, hogy az eljárás végén mindig egész számot kapunk.  (11 pont)
 

2. Határozzuk meg a p értékét úgy, hogy a következő egyenletnek legyen valós gyöke:
x2-2010x-2011+x2+2011x+2010+x2-p2=0.
 (12 pont)
 

3. Adott a koordinátarendszerben öt pont: A(7;-1), B(-2;2), C(-1;5), D(6;6), E(7;6).
a) Adjuk meg azt a P pontot (ha van ilyen), amelyre PA=PB=PC=PD.
b) Igazoljuk, hogy nincs olyan pont, amely az A, B, C és E pontoktól egyenlő távolságra található.  (14 pont)
 

4. Az f(x) másodfokú függvény esetén minden valós x-re teljesül, hogy
f(x)+f(x+1)+1=2(f(x)+x+1).
Adjuk meg f(8)-f(4) értékét.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Egy színpadi díszletet a díszlettervező egy 1 m  ×2,5 m-es préselt lemezből szeretné kivágatni. A lapra 1 dm-es beosztással rácsot rajzolnak, a téglalap hosszú középvonalának egyenesét y, az erre merőleges egyik oldal egyenesét pedig x tengelynek tekintik. Berajzolják az x25-x2 hozzárendelésű függvény rácspontjait. A rácspontokat összekötő egyenes szakaszok mentén kifűrészelik azt a konvex sokszöget, amelynek egyik oldala az eredeti téglalap egyik oldalával egybeesik. Hány dm2-rel kapnának nagyobb területű síkidomot, ha a függvény görbéje mentén tudnának fűrészelni?  (16 pont)
 

6. Az f(x)=|x-1|+|x-5|-4 hozzárendeléssel megadott függvény jó közelítéssel egy középszakasz jellegű folyó keresztmetszetét adja. A koordinátarendszer egysége a valóságban 1 métert jelent. Tudjuk, hogy a folyó sebessége 1,2ms, a vízállás pedig 4 méteres.
a) Mekkora mennyiségű víz halad keresztül a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt?
b) Hány százalékkal csökken a folyó vízhozama, ha a vízszint 2 méternyit apad?
c) Mennyivel csökken a vízszint az eredetihez képest, ha a híradások szerint a folyó vízhozama a felére esett vissza?  (16 pont)
 

7. A négyzetszámokat háromszög alakzatba rendezzük az alábbiak szerint:
149162536496481100121144169196225256...

a) Melyik szám áll a 13. sor 7. helyén?
b) Hol található a 66 049?
c) Mennyi a 24. sorban lévő számok összege?  (16 pont)
 

8. Hat darab 3 és hat darab 4 hosszúságú szakaszt valamilyen sorrendben úgy rakunk egymáshoz, hogy a végén egy húrtizenkétszög alakuljon ki. Mekkora a tizenkétszög köré írt kör sugara?  (16 pont)
 

9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne 12 órás és 6 órás jegy. A 12 órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a 6 órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne 3 órás jegy 350 Ft-ért, 6 órás jegy 600 Ft-ért, 9 órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek 150 látogatót és a következő gyakoriság adódott:
 
időtartam (h)0‐11‐22‐33‐44‐55‐66‐77‐88‐99‐1010‐1111‐12gyakoriság (fő)6711182526201615420
 

a) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint?
b) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint?
c) Egy harmadik változatban 4, 8 és 12 órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára 10-zel osztható?  (16 pont)